Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Ableiten verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (Potenz- & Summenregel, Steigung der Tangente, Monotonie, Extremstellen, mittlere vs. momentane Änderungsrate), Teil 2 bringt typische Anwendungen: Bewegung, Grenzkosten und Hochpunkt-Aufgaben.
Schreibweise: f′(x) ist die Ableitung von f. Sie gibt die Steigung der Tangente bzw. die momentane Änderungsrate an.
Ableitungsregeln, Tangentensteigung, Monotonie, Extremstellen – gemischte Antwortformate.
Potenzregel: (xn)′ = n·xn−1. Leite ab und werte aus.
f′(x) = 4x3 → 4·23 = 32.
g′(x) = 6x → 6·2 = 12.
h′(x) = 3x2 − 2 → 3·1 − 2 = 1. 32 · 12 · 1
Die Ableitung f′(x0) ist die Steigung der Tangente an der Stelle x0. Gegeben: f(x) = x2.
f′(x) = 2x, also k = 2x0.
2·3 = 6, 2·(−1) = −2, 2·0 = 0. 6 · −2 · 0
Potenzregel: (x3)′ = 3·x3−1 = 3x2. Antwort A
Aussagen 1 und 3
Gegeben: f(x) = 2x3 − 3x2 + 5. Leite ab und werte aus.
f′(x) = 6x2 − 6x (Summenregel; der Summand +5 fällt weg).
f′(2) = 24 − 12 = 12, f′(1) = 0, f′(0) = 0. 12 · 0 · 0
2x − 4 = 0 ⟺ x = 2. Antwort A
Ordne jeder Funktion ihre Ableitung zu.
Mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient) auf [a;b]: f(b) − f(a)b − a. Gegeben: f(x) = x2.
[1;3]: 9 − 13 − 1 = 82 = 4.
[0;2]: 4 − 02 − 0 = 2.
f′(x) = 2x → f′(2) = 4. 4 · 2 · 4
Bewegung, Grenzkosten und Hochpunkte – die Ableitung als Änderungsrate im Sachkontext.
Ein Körper legt den Weg s(t) = t2 zurück (s in m, t in s). Die Geschwindigkeit ist v(t) = s′(t) = 2t.
s(3) = 32 = 9 m.
v(t) = 2t → v(3) = 6 m/s, v(0) = 0 m/s. 9 · 6 · 0
Kostenfunktion K(x) = 0,5x2 + 10x + 100 (in €, x Stück). Die Grenzkosten sind K′(x) = x + 10.
K(20) = 0,5·400 + 200 + 100 = 500 €.
K′(x) = x + 10 → K′(20) = 30, K′(0) = 10. 500 · 30 · 10
Ein Ball wird hochgeworfen: h(t) = −5t2 + 20t (h in m, t in s). Es gilt h′(t) = −10t + 20.
h′(1) = −10 + 20 = 10 m/s.
Höchster Punkt: −10t + 20 = 0 ⟹ t = 2 s.
h(2) = −20 + 40 = 20 m. 10 · 2 · 20
Im Minimum ist die Tangente waagrecht (f′ = 0) und die Funktion geht von fallend zu steigend über (Vorzeichenwechsel von f′ von − auf +). Antwort A
(xn)′ = n·xn−1
(c)′ = 0, (c·f)′ = c·f′
(f ± g)′ = f′ ± g′
Jeden Summanden einzeln ableiten.
f′(x0) = Steigung der Tangente = momentane Änderungsrate.
f′ > 0 → steigend, f′ < 0 → fallend.
Notwendig: f′(x0) = 0.
Min: f′ wechselt − → +. Max: + → −.
mittlere: ΔyΔx (Differenzenquotient).
momentane: f′(x) (Differentialquotient).
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.