Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Wachstum und Zerfall verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (eine Funktion a·bx erkennen, Wachstum/Zerfall unterscheiden, Werte berechnen, Gleichungen per Logarithmus lösen, Logarithmen bestimmen, den Wachstumsfaktor prozentual deuten). Teil 2 bringt typische Anwendungen: Zinseszins, radioaktiver Zerfall mit Halbwertszeit, Bakterienwachstum und der pH-Wert.
Parameter a und b, Wachstum/Zerfall, Funktionswerte, Exponentialgleichungen, Logarithmen – gemischte Antwortformate.
Eine Exponentialfunktion f hat die Form f(x) = a·bx. Bekannt sind die beiden Werte:
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| f(x) | 5 | 15 |
Bestimme die Parameter a und b sowie den Funktionswert f(2).
a bestimmen: a ist der Startwert: a = f(0) = 5 (denn b0 = 1).
b bestimmen: b = f(1)f(0) = 155 = 3.
f(2): f(2) = 5·3² = 5·9 = 45. a = 5, b = 3, f(2) = 45
Richtig: Aussagen 1 und 2
Gegeben ist f(x) = 2·3x.
Berechne die Funktionswerte f(0), f(2) und f(−1).
f(0): 2·30 = 2·1 = 2.
f(2): 2·3² = 2·9 = 18.
f(−1): 2·3−1 = 23 ≈ 0,667. f(0) = 2, f(2) = 18, f(−1) ≈ 0,667
Löse die folgenden Exponentialgleichungen nach x (mithilfe des Logarithmus).
3x = 81: 81 = 34 → x = log3(81) = 4.
2x = 32: 32 = 25 → x = 5.
10x = 1000: 1000 = 103 → x = lg(1000) = 3. x = 4, x = 5, x = 3
Allgemein: Aus bx = c folgt x = logb(c) = ln(c)ln(b) – auch wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist.
Berechne die folgenden Logarithmen. (lg ist der Logarithmus zur Basis 10, ln der natürliche Logarithmus zur Basis e.)
lg(100): 100 = 10² → lg(100) = 2.
lg(0,001): 0,001 = 10−3 → lg(0,001) = −3.
ln(e²): der Logarithmus „fragt nach dem Exponenten" → ln(e²) = 2. 2, −3, 2
Der Wachstumsfaktor ist b = 1,05 = 1 + 0,05. Der Aufschlag 0,05 = 5 % wird pro Jahr hinzugerechnet.
Also nimmt der Bestand jedes Jahr um +5 % zu. Antwort A: +5 % pro Jahr
Ordne jedem Wachstumsfaktor b die richtige prozentuale Änderung pro Schritt zu.
Aus b = 1 + p liest man den Prozentsatz direkt ab: ist b > 1 → Zunahme, ist b < 1 → Abnahme.
Ein Bestand verdoppelt sich pro Tag, das Modell lautet N(x) = N0·2x (x in Tagen, b = 2).
a) Nach wie vielen Tagen ist er auf das 8-fache gewachsen?
b) Nach wie vielen Tagen auf das 16-fache?
a) 8-fach bedeutet 2x = 8. Wegen 2³ = 8 ist x = 3 Tage.
b) 16-fach bedeutet 2x = 16. Wegen 24 = 16 ist x = 4 Tage. 3 Tage und 4 Tage
Zinseszins, radioaktiver Zerfall, Bakterienwachstum, pH-Wert – modellieren, rechnen, interpretieren.
Ein Kapital von 1000 € wird mit 3 % p. a. verzinst (Zinseszins). Das Kapital (in €) nach t Jahren beschreibt
a) Wie hoch ist das Kapital nach 5 Jahren?
b) Wie hoch nach 10 Jahren?
c) Ab welchem ganzen Jahr ist das Kapital größer als 1500 €?
a) K(5) = 1000·1,035 = 1000·1,15927 ≈ 1159,27 €.
b) K(10) = 1000·1,0310 = 1000·1,34392 ≈ 1343,92 €.
c) 1000·1,03t > 1500 → 1,03t > 1,5 → t > ln(1,5)ln(1,03) ≈ 13,72. Das erste ganze Jahr darüber ist t = 14. K(5) ≈ 1159,27 €, K(10) ≈ 1343,92 €, ab dem 14. Jahr
Ein radioaktives Präparat hat anfangs 100 mg und eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Die Masse (in mg) nach t Tagen beschreibt
a) Wie viel mg sind nach 8, 16 und 24 Tagen übrig?
b) Nach wie vielen Tagen sind weniger als 10 mg (= 10 %) übrig?
a) Jede Halbwertszeit (8 Tage) halbiert die Masse: N(8) = 50, N(16) = 25, N(24) = 12,5 mg.
b) Nach 4 Halbwertszeiten bleibt 0,54 = 6,25 % < 10 % übrig (nach 3 HWZ noch 12,5 % > 10 %). Also 4·8 = 32 Tage. 50, 25, 12,5 mg; unter 10 mg nach 32 Tagen
Eine Bakterienkultur startet mit 500 Zellen und hat eine Verdopplungszeit (Generationszeit) von 30 Minuten. Die Anzahl nach t Minuten beschreibt
a) Wie viele Zellen gibt es nach 30 Minuten?
b) Wie viele nach 2 Stunden?
c) Wie viele nach 3 Stunden?
a) 30 min = 1 Verdopplung → 500·2 = 1000 Zellen.
b) 2 h = 120 min = 4 Verdopplungen → 500·24 = 500·16 = 8000 Zellen.
c) 3 h = 180 min = 6 Verdopplungen → 500·26 = 500·64 = 32000 Zellen. 1000, 8000, 32000 Zellen
Der pH-Wert einer Lösung hängt logarithmisch von der H+-Konzentration c (in mol/l) ab:
a) Welcher pH-Wert gehört zu c = 10−3 mol/l?
b) Welcher zu c = 10−5 mol/l?
c) Wie ändert sich die Konzentration, wenn der pH-Wert um 1 sinkt?
a) pH = −lg(10−3) = −(−3) = 3.
b) pH = −lg(10−5) = −(−5) = 5.
c) Die pH-Skala ist logarithmisch: pro pH-Stufe ändert sich c um den Faktor 10. Ein um 1 kleinerer pH-Wert bedeutet eine 10-fach größere Konzentration. pH = 3, pH = 5, 10-fach so groß
Allgemein: f(x) = a·bx
a = Startwert = f(0) (denn b0 = 1).
b = Wachstumsfaktor pro Schritt; b = f(x+1)f(x).
b > 1 → exponentielles Wachstum (steigend).
0 < b < 1 → exponentieller Zerfall (fallend).
Die x-Achse (y = 0) ist Asymptote – nie ganz erreicht, keine Nullstelle.
Zunahme: b = 1 + p (z. B. 1,05 → +5 %).
Abnahme: b = 1 − p (z. B. 0,90 → −10 %).
b = 2 → +100 % (Verdopplung); b = 0,5 → −50 % (Halbierung).
e ≈ 2,718 (Eulersche Zahl), Basis des natürlichen Wachstums.
ln = Logarithmus zur Basis e; lg = Logarithmus zur Basis 10.
Es gilt ln(ex) = x und lg(10x) = x.
Der Logarithmus ist die Umkehrung: bx = c ⟺ x = logb(c).
Lösen von bx = c: x = ln(c)ln(b) (oder mit lg).
Halbwertszeit/Verdopplungszeit T: N(t) = N0·b(t/T) mit b = 0,5 bzw. b = 2.
halboffen: Wert/Term eintragen. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.