Übungszettel · 6 Aufgaben

Funktionen höheren Grades

Polynomfunktionen, mehrfache Nullstellen, biquadratische Gleichungen und Polynome aufstellen.

Gesucht sind reelle Nullstellen. Nutze zunächst Ausklammern, bekannte Nullstellen oder eine passende Substitution. Begründe das Verhalten des Graphen mit Grad, Leitkoeffizient und Vielfachheit.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Grad und Leitkoeffizient
Der höchste Exponent mit Koeffizient ungleich 0 ist der Grad. Sein Koeffizient bestimmt zusammen mit dem Grad das Verhalten für große |x|.
Nullstellen und Faktoren
Ist r eine Nullstelle, dann ist (x − r) ein Faktor. Bei gerader Vielfachheit berührt der Graph die x-Achse; bei ungerader Vielfachheit wechselt er die Seite.
Biquadratische Gleichung
Bei ax⁴ + bx² + c = 0 hilft u = x². Nur Lösungen u ≥ 0 liefern reelle x = ±√u.
Polynom aus Nullstellen
Die Nullstellen und ihre Vielfachheiten bestimmen die Faktoren; ein weiterer Punkt kann den Streckfaktor festlegen.

Grad und Nullstellen

Aufgabe 01

Grad und Verhalten im Unendlichen

Für f(x) = −2x⁵ + 3x² − 7: Bestimme Grad, Leitkoeffizient, y-Achsenabschnitt und das Verhalten für x → +∞ und x → −∞.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Der höchste Exponent ist 5; sein Koeffizient ist −2.
  2. f(0) = −7. Für große |x| dominiert der Term −2x⁵.
  3. Für x → +∞ ist x⁵ positiv und unbeschränkt, also f(x) → −∞. Für x → −∞ ist x⁵ negativ, also f(x) → +∞.

Ergebnis: Grad 5; Leitkoeffizient −2; y-Achsenabschnitt −7; rechts nach unten, links nach oben.

Aufgabe 02

Einfache und doppelte Nullstelle

Gegeben ist f(x) = (x + 2)(x − 1)². Bestimme Nullstellen und Vielfachheiten, die ausmultiplizierte Form und f(0). Beschreibe das Verhalten an den Nullstellen.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Die Faktoren werden bei x = −2 und x = 1 null. Der Faktor x + 2 kommt einmal vor, x − 1 zweimal.
  2. (x − 1)² = x² − 2x + 1. Multiplikation mit x + 2 ergibt x³ − 3x + 2.
  3. f(0) = 2. Bei −2 wechselt das Vorzeichen; bei 1 bleibt der Faktor (x − 1)² nicht negativ.

Ergebnis: Nullstellen −2 (einfach, Achsenkreuzung) und 1 (doppelt, Berührung). f(x) = x³ − 3x + 2; f(0) = 2.

Aufgabe 03

Biquadratische Gleichung

Bestimme alle reellen Nullstellen von f(x) = x⁴ − 5x² + 4. Ist der Graph zur y-Achse symmetrisch?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Setze u = x². Dann u² − 5u + 4 = (u − 1)(u − 4) = 0.
  2. u = 1 liefert x = ±1, u = 4 liefert x = ±2. Beide u-Werte sind nicht negativ.
  3. Es kommen nur gerade Potenzen vor: f(−x) = f(x).

Ergebnis: Nullstellen: −2, −1, 1, 2. Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch.

Faktorisieren und Funktionen erstellen

Aufgabe 04

Eine bekannte Nullstelle nutzen

Für f(x) = x³ − 4x² + x + 6 ist x = 2 eine Nullstelle. Bestätige sie und finde alle weiteren Nullstellen durch Polynomdivision oder Koeffizientenvergleich.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. f(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0, also ist x − 2 ein Faktor.
  2. Die Division durch x − 2 liefert x² − 2x − 3 ohne Rest. Kontrolle durch Ausmultiplizieren.
  3. x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).

Ergebnis: f(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1); Nullstellen: −1, 2 und 3.

Aufgabe 05

Kubische Funktion aufstellen

Eine Funktion dritten Grades hat die Nullstellen −1, 0 und 2 und verläuft durch P = (1 | −4). Stelle die Funktionsgleichung auf.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Ansatz: f(x) = a(x + 1)x(x − 2).
  2. P einsetzen: −4 = a · 2 · 1 · (−1) = −2a, also a = 2.
  3. Ausmultiplizieren: (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2; anschließend mit 2x multiplizieren.

Ergebnis: f(x) = 2x(x + 1)(x − 2) = 2x³ − 2x² − 4x.

Aufgabe 06

Funktion mit zwei Berührpunkten

Gesucht ist eine Funktion vierten Grades mit doppelten Nullstellen bei x = 1 und x = −2 sowie f(0) = 8. Bestimme die Funktion, das Vorzeichen ihrer Werte und ihr Verhalten für x → ±∞.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Ansatz: f(x) = a(x − 1)²(x + 2)². Die Grade der Faktoren ergeben zusammen 4.
  2. f(0) = a · 1 · 4 = 8, deshalb a = 2.
  3. Quadrate sind nicht negativ. Mit a > 0 gilt f(x) ≥ 0; nur an den beiden Nullstellen ist f(x) = 0.
  4. Der Leitkoeffizient ist 2 und der Grad gerade: an beiden Enden wächst der Graph gegen +∞.

Ergebnis: f(x) = 2(x − 1)²(x + 2)²; keine negativen Funktionswerte; beide Enden nach oben.