Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Funktionen der Form f(x) = p(x)q(x) verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (Definitionsbereich, senkrechte & waagrechte Asymptoten, Eigenschaften der Hyperbel), Teil 2 bringt typische Anwendungen: Stückkosten, Konzentration/Grenzwert und Mischung – mit Asymptote als Grenzwert.
Definitionsbereich, senkrechte & waagrechte Asymptoten, Eigenschaften der Hyperbel – gemischte Antwortformate.
Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es Definitionslücken dort, wo der Nenner null wird.
Gib an, für welche x die folgenden Funktionen nicht definiert sind:
Definitionslücken liegen bei den Nullstellen des Nenners – dort setzt man den Nenner = 0.
f: x − 3 = 0 → x = 3.
g: x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = −2 oder x = 2.
f: x = 3 · g: x = −2 und x = 2
An den Definitionslücken (Polstellen) hat der Graph eine senkrechte Asymptote – eine senkrechte Gerade x = …, der sich der Graph annähert.
Gib die Gleichung der senkrechten Asymptote an:
Die Polstelle (senkrechte Asymptote) liegt an der Nullstelle des Nenners.
f: x + 1 = 0 → x = −1.
h: x − 5 = 0 → x = 5.
f: x = −1 · h: x = 5
Zähler- und Nennergrad sind gleich (beide vom Grad 2). Dann ist die waagrechte Asymptote der Quotient der Leitkoeffizienten: y = 3/1 = 3.
Für große |x| dominieren 3x² und x² → f(x) → 3. Antwort A: y = 3
Richtig: Aussagen 1 und 2
Gegeben ist f(x) = x + 2x − 1.
Berechne die folgenden Funktionswerte:
f(3): 3 + 23 − 1 = 52 = 2,5.
f(0): 0 + 20 − 1 = 2−1 = −2.
f(−2): −2 + 2−2 − 1 = 0−3 = 0 (Nullstelle, da der Zähler null wird).
f(3) = 2,5 · f(0) = −2 · f(−2) = 0
Gegeben ist f(x) = 2x + 4x − 1.
Bestimme die Gleichungen der senkrechten und der waagrechten Asymptote.
senkrecht: Nenner x − 1 = 0 → senkrechte Asymptote x = 1.
waagrecht: Zähler- und Nennergrad sind gleich (beide Grad 1) → Quotient der Leitkoeffizienten y = 2/1 = 2.
x = 1, y = 2
Ordne jeder Funktion ihr Paar (senkrechte | waagrechte Asymptote) zu.
Senkrechte Asymptote = Nennernullstelle; waagrechte Asymptote per Gradvergleich:
Der Zählergrad (1) ist kleiner als der Nennergrad (2). Dann nähert sich f für große |x| der waagrechten Asymptote y = 0.
Antwort A: y = 0
Stückkosten, Konzentration/Grenzwert, Mischung – modellieren, rechnen, Asymptoten deuten.
Ein Betrieb hat Fixkosten von 1200 € und variable Kosten von 8 € je Stück. Die Stückkosten (Kosten pro Stück) bei einer Produktionsmenge x betragen
a) Wie hoch sind die Stückkosten bei x = 100 bzw. x = 300 Stück?
b) Welcher Wert ist die langfristige Untergrenze der Stückkosten (waagrechte Asymptote)?
a) k(100) = 8 + 1200100 = 8 + 12 = 20 €/Stück; k(300) = 8 + 1200300 = 8 + 4 = 12 €/Stück.
b) k(x) = 8 + 1200x: für große x geht der Fixkostenanteil 1200/x → 0, also k(x) → 8. Untergrenze y = 8 €/Stück
Deutung: Je mehr produziert wird, desto stärker verteilen sich die Fixkosten – die Stückkosten sinken, aber nie unter die variablen 8 €/Stück.
Nach einer Infusion beschreibt
die Wirkstoffkonzentration c (in mg/l) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten).
a) Welche Konzentration liegt nach 5 bzw. 15 Minuten vor?
b) Welchem Grenzwert nähert sich die Konzentration für t → ∞?
a) c(5) = 20·55 + 5 = 10010 = 10 mg/l; c(15) = 20·1515 + 5 = 30020 = 15 mg/l.
b) Zähler- und Nennergrad sind gleich (Grad 1). Der Grenzwert (waagrechte Asymptote) ist der Quotient der Leitkoeffizienten: y = 20/1 = 20 mg/l. Grenzwert = 20 mg/l
Deutung: Die Konzentration steigt an, kann aber 20 mg/l nie überschreiten – das ist die maximale Sättigung.
In 10 L Wasser sind 2 kg Salz gelöst. Man gibt x Liter reines Wasser dazu. Die Salzkonzentration (in kg/L) beträgt dann
a) Welche Konzentration liegt am Anfang (x = 0) und nach Zugabe von 10 L vor?
b) Welchem Grenzwert nähert sich die Konzentration für x → ∞?
a) c(0) = 210 + 0 = 210 = 0,2 kg/L; c(10) = 210 + 10 = 220 = 0,1 kg/L.
b) Der Zählergrad (0) ist kleiner als der Nennergrad (1). Für großes x wird der Nenner riesig, also c(x) → 0. Grenzwert = 0 kg/L
Deutung: Je mehr Wasser man zugibt, desto stärker wird das Salz verdünnt – die Konzentration fällt gegen 0, ohne sie ganz zu erreichen.
Die Stückkostenfunktion k(x) = 8 + 1200x hat die waagrechte Asymptote y = 8.
Was bedeutet diese waagrechte Asymptote im Sachkontext?
Für große Produktionsmengen geht der Fixkostenanteil 1200/x → 0. Übrig bleiben nur die variablen Kosten von 8 €/Stück – das ist die Untergrenze, der sich die Stückkosten nähern.
die variablen Kosten pro Stück
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen:
f(x) = p(x)q(x) mit Zählerpolynom p und Nennerpolynom q.
Die Funktion ist überall definiert außer dort, wo der Nenner null wird.
Lösung von q(x) = 0 → diese x-Werte aus dem Definitionsbereich ausschließen.
An den Nennernullstellen (sofern der Zähler dort nicht auch null ist) liegt eine Polstelle: senkrechte Asymptote x = x0.
Der Graph nähert sich dort der senkrechten Geraden unbegrenzt an.
Zählergrad < Nennergrad → y = 0.
Zählergrad = Nennergrad → y = Quotient der Leitkoeffizienten.
Zählergrad > Nennergrad → keine waagrechte Asymptote.
D = ℝ\{0}; Asymptoten x = 0 und y = 0.
Punktsymmetrisch zum Ursprung; je Ast streng monoton fallend.
halboffen: Wert/Term eintragen. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.