Maturavorbereitung · Funktionale Abhängigkeiten
15 sorgfältig aufgebaute Aufgaben in fünf Themenblöcken: von der Modellierung aus zwei Datenpunkten über Tarif‑ und Kostenfunktionen bis zu Bewegungsaufgaben und dem Lesen von Graphen. Alle Aufgaben sind im Stil der österreichischen Matura formuliert.
Eine lineare Funktion hat die Gleichung
k = Steigung = Änderungsrate. Sie sagt, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 steigt (z. B. Kosten pro Stück, km pro Stunde, € pro Minute).
d = y-Achsenabschnitt = Anfangswert bei x=0 (z. B. Fixkosten, Grundgebühr, Startposition).
Gegeben zwei Wertepaare (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂):
Gesamtkosten: K(x) = k·x + F (k = variable Stückkosten, F = Fixkosten).
Erlös: E(x) = p·x (p = Verkaufspreis pro Stück).
Gewinn: G(x) = E(x) − K(x).
Break‑even‑Point: dort gilt E(x) = K(x) bzw. G(x) = 0. Ab da beginnt die Gewinnzone.
Weg in Abhängigkeit von der Zeit: s(t) = v·t + s₀.
v = Geschwindigkeit (Steigung), s₀ = Startentfernung bei t=0.
Startet jemand später (um Δ Stunden), schreibt man v·(t − Δ) – die Bewegung beginnt erst ab t = Δ.
Treffen/Einholen: beide Wegfunktionen gleichsetzen und nach t auflösen.
Aus zwei gegebenen Wertepaaren die Funktionsgleichung k·x + d bestimmen und die Bedeutung von k und d deuten.
Ein Wasserversorger verrechnet eine fixe Grundgebühr plus einen Preis pro Kubikmeter. Ein Haushalt zahlt bei einem Verbrauch von 150 m³ insgesamt € 202,50, bei 400 m³ insgesamt € 502,50.
| Verbrauch x (m³) | Kosten K (€) |
|---|---|
| 150 | 202,50 |
| 400 | 502,50 |
a) Ermittle die Gleichung der Kostenfunktion K(x) = k·x + d.
b) Was bedeuten k und d in diesem Kontext?
Steigung = Kostenunterschied geteilt durch Verbrauchsunterschied:
Ein Wertepaar einsetzen, z. B. (150 | 202,50):
Ergebnis: K(x) = 1,2 · x + 22,5
k = 1,2 sind die Kosten pro Kubikmeter Wasser (€ 1,20 je m³). d = 22,5 ist die fixe Grundgebühr von € 22,50, die unabhängig vom Verbrauch anfällt (auch bei x = 0).
Ein Taxi verrechnet einen Grundpreis plus einen festen Betrag pro Kilometer. Nach 4 km zeigt der Taxameter € 11,40, nach 10 km € 23,40.
a) Stelle die Tarifgleichung K(x) = k·x + d auf (x in km).
b) Wie viel kostet eine Fahrt über 18 km?
Einsetzen von (4 | 11,40):
K(x) = 2 · x + 3,40 — also € 3,40 Grundpreis und € 2,00 je km.
Die Fahrt kostet € 39,40.
Ein Datentarif besteht aus einer monatlichen Grundgebühr und einem Preis pro verbrauchtem Gigabyte. Bei 4 GB betragen die Kosten € 23,00, bei 10 GB € 38,00.
a) Bestimme K(x) = k·x + d.
b) Bei welchem Datenverbrauch betragen die Kosten genau € 43,00?
K(x) = 2,5 · x + 13
Gesucht ist x mit K(x) = 43:
Bei 12 GB betragen die Kosten genau € 43,00.
Zwei lineare Tarife gleichsetzen, den Wechselpunkt finden und begründen, welcher Tarif wann günstiger ist. Inklusive eines abschnittsweise definierten Flatrate‑Tarifs.
Ein Anbieter hat zwei Tarife. Tarif Klassik: € 9,90 monatliche Grundgebühr und € 0,04 pro Gesprächsminute. Tarif Vielnutzer: € 19,90 Grundgebühr und € 0,02 pro Minute.
a) Stelle für beide Tarife die Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Gesprächszeit t (in Minuten) auf.
b) Ab welcher monatlichen Gesprächszeit ist „Vielnutzer“ günstiger? Begründe.
Gleichsetzen liefert den Punkt, an dem beide Tarife gleich viel kosten:
Bei 500 min sind beide gleich teuer. Für t > 500 wächst „Klassik“ wegen der höheren Minutenrate (0,04 > 0,02) schneller — daher ist „Vielnutzer“ ab mehr als 500 Gesprächsminuten pro Monat günstiger. Darunter lohnt sich „Klassik“ wegen der niedrigeren Grundgebühr.
Anbieter A: € 8,00 monatliche Grundgebühr und € 0,25 pro kWh. Anbieter B: € 18,00 Grundgebühr und € 0,20 pro kWh.
a) Bei welchem monatlichen Verbrauch sind beide Anbieter gleich teuer?
b) Ein Haushalt verbraucht 150 kWh pro Monat. Welcher Anbieter ist günstiger und um wie viel?
Bei 200 kWh kosten beide gleich viel. Darüber ist B günstiger, darunter A.
150 kWh liegt unter 200 kWh, daher ist Anbieter A günstiger — und zwar um € 2,50 (48,00 − 45,50).
Ein Anbieter bietet zwei Flatrate‑Tarife mit Freiminuten an. Danach wird jede Minute extra verrechnet.
a) Lies für Tarif Smart Grundgebühr, Freiminuten und den Preis pro Minute nach Überschreiten ab.
b) Wie viel kosten 1200 Gesprächsminuten in jedem Tarif?
Im flachen Stück steht der Wert 12 ⟹ Grundgebühr € 12. Der Knick (Ende der Freiminuten) ist die Grenze t = 500 ⟹ 500 Freiminuten. Im zweiten Ast ist die Steigung der Preis pro Minute ⟹ € 0,10/min.
1200 liegt bei beiden Tarifen im zweiten Ast (über den Freiminuten):
Smart kostet € 82, Aktiv € 42. Bei 1200 min ist Aktiv deutlich günstiger.
Für 500 < t ≤ 900 ist Aktiv noch flach (18 €), Smart steigt bereits: 0,10·t − 38 = 18 ⟹ t = 560. Bis 560 min ist Smart günstiger, ab 560 min Aktiv.
Fixkosten und variable Kosten aus Produktionsdaten bestimmen, Erlös‑ und Gewinnfunktion aufstellen und den Break‑even‑Point berechnen.
In einem Betrieb fallen bei einer Produktion von 20 ME Kosten von € 4400 an, bei 50 ME sind es € 7400. Es wird ein linearer Kostenverlauf angenommen.
a) Ermittle die Kostenfunktion K(x) = k·x + F (variable Stückkosten und Fixkosten).
b) Wie viele ME dürfen höchstens produziert werden, damit die Kosten € 9000 nicht übersteigen?
K(x) = 100 · x + 2400 — € 100 variable Kosten je ME, € 2400 Fixkosten.
Bedingung: K(x) ≤ 9000:
Es dürfen höchstens 66 ME produziert werden. (Da nur ganze ME zählen, wird abgerundet.)
Die Gesamtkosten eines Betriebes sind linear: bei 40 Stück betragen sie € 2600, bei 90 Stück € 4100. Jedes Stück wird um p = € 50 verkauft.
a) Bestimme die Kostenfunktion K(x) und lies die Fixkosten ab.
b) Stelle Erlösfunktion E(x) und Gewinnfunktion G(x) auf.
c) Berechne den Break‑even‑Point und den Gewinn bei 100 Stück.
K(x) = 30 · x + 1400, Fixkosten = € 1400.
Break‑even: Gewinn null, also G(x) = 0:
Ab 70 Stück arbeitet der Betrieb in der Gewinnzone (Erlös = Kosten = € 3500). Gewinn bei 100 Stück:
Der Gewinn beträgt € 600.
Für eine Firma gilt zwischen Stückzahl x und Gesamtkosten ein linearer Zusammenhang. Bei 200 Stück betragen die Kosten € 69 000, bei 500 Stück € 105 000.
a) Ermittle K(x).
b) Formuliere die Frage zu K(370) = ? in Worten und berechne den Wert.
c) Formuliere die Frage zu K(x) = 100 000, x = ? in Worten und berechne x (auf ganze Stück gerundet).
K(x) = 120 · x + 45 000
Frage in Worten: „Welche Gesamtkosten entstehen bei einer Produktion von 370 Stück?“
Kosten = € 89 400.
Frage in Worten: „Bei welcher Stückzahl betragen die Gesamtkosten € 100 000?“
Es können maximal 458 Stück produziert werden, ohne € 100 000 zu überschreiten.
Weg‑Zeit‑Funktionen aufstellen (auch bei späterem Start), Treffpunkte berechnen, Gleichungen richtig zuordnen und Diagramme lesen.
Ein Radfahrer startet um 9:00 Uhr in Stadt A und fährt mit durchschnittlich 18 km/h Richtung Stadt B. t ist die Fahrzeit in Stunden, s(t) der zurückgelegte Weg in km.
a) Stelle die Funktionsgleichung s(t) auf.
b) Um wie viel Uhr ist er 63 km von A entfernt?
Start in A, also s₀ = 0. Die Geschwindigkeit ist die Steigung:
3,5 h = 3 Stunden 30 Minuten nach 9:00 Uhr ⟹ 12:30 Uhr.
Anna startet um 14:00 Uhr zu Fuß mit 6 km/h von zu Hause Richtung See. Ben startet um 15:00 Uhr (eine Stunde später) mit dem Rad und 18 km/h auf derselben Strecke. t = Zeit in Stunden ab 14:00 Uhr.
a) Stelle die Wegfunktionen sA(t) und sB(t) auf.
b) Wann und in welcher Entfernung holt Ben Anna ein?
c) Der See ist 21 km entfernt. Um wie viel früher ist Ben dort als Anna?
Anna startet bei t=0: sA(t) = 6·t. Ben startet 1 Stunde später, fährt also erst ab t=1:
Gleichsetzen, weil beide am selben Ort sind:
t = 1,5 h nach 14:00 Uhr ⟹ 15:30 Uhr. Entfernung: sA(1,5) = 6·1,5 = 9 ⟹ 9 km von zu Hause.
Differenz: 3,5 − 2,1667 = 1,3333 h ≈ 1 h 20 min. Ben ist also rund 1 h 20 min früher am See.
Die Entfernung Wien–Graz beträgt ca. 200 km. t = Zeit in Stunden ab 8:00 Uhr, s(t) = Entfernung von Wien in km.
a) Tom startet um 8:00 Uhr in Wien und fährt mit 60 km/h Richtung Graz. Welche Gleichung passt?
b) Lisa startet um 9:00 Uhr in Graz und fährt mit 80 km/h Richtung Wien. Welche Gleichung passt?
c) Wann und wo treffen sich die beiden? (in der Lösung erklärt)
Tom startet in Wien (s = 0 bei t=0) und entfernt sich mit 60 km/h ⟹ s wächst. Passend ist C: s(t) = 60·t.
Lisa startet in Graz (s = 200) und fährt nach Wien ⟹ s nimmt ab. Sie beginnt erst um 9:00, also bei t=1 ⟹ Term (t−1). Passend ist B: s(t) = 200 − 80·(t − 1).
Beide sind am selben Ort, wenn ihre Entfernungen von Wien gleich sind:
Treffen nach 2 h ⟹ 10:00 Uhr, in 60·2 = 120 km Entfernung von Wien (also 120 km von Wien).
Lena und Theo fahren zwischen zwei Orten, die 60 km auseinanderliegen. Das Diagramm zeigt die Entfernung von Theos Startort in Abhängigkeit von der Zeit (t = 0 entspricht dem gemeinsamen Startzeitpunkt).
a) Lies die Geschwindigkeit von Theo (sT) und Lena (sL) ab — in km/h.
b) Nach wie vielen Minuten begegnen sie einander, und in welcher Entfernung?
Theo erreicht 60 km nach 90 min (= 1,5 h): 60 ÷ 1,5 = 40 km/h. Seine Gerade steigt.
Lena startet bei 60 km und ist nach 180 min (= 3 h) bei 0 km: 60 ÷ 3 = 20 km/h. Ihre Gerade fällt (sie fährt Theo entgegen).
Im Diagramm schneiden sich die Geraden bei (60 min | 40 km). Rechnerisch:
Sie begegnen einander nach 60 min in 40 km Entfernung von Theos Startort.
Aus dem Graphen einer Geraden den Achsenabschnitt d und die Steigung k ablesen und die Funktionsgleichung aufstellen.
Die Grafik zeigt die Kosten f(x) eines Dienstes in Euro bei x verbrauchten Einheiten.
a) Lies Achsenabschnitt d und Steigung k ab und gib f(x) = k·x + d an.
b) Bei wie vielen Einheiten betragen die Kosten € 50?
Die Gerade schneidet die y‑Achse bei 20 ⟹ d = 20. Für die Steigung ein Steigungsdreieck wählen, z. B. von (0|20) nach (8|40):
f(x) = 2,5 · x + 20
Bei 12 Einheiten betragen die Kosten € 50.
Hak ab, was du sicher kannst. Was noch offen ist, ist dein nächster Lernschritt.