Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Aufgaben im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur: gegliedert in Teil 1 (Grundkompetenzen) mit den typischen Antwortformaten und Teil 2 (Anwendung & Vernetzung). Schwerpunkt diesmal: Steigung deuten, entscheiden, was linear ist, zuordnen und argumentieren.
Einzelne Kompetenzen, gemischte Antwortformate – wie im Teil-1-Aufgabenheft.
Der Graph einer linearen Funktion f ist eine Gerade durch die Punkte P = (−1 | 5) und Q = (3 | −3).
Bestimme die Steigung k und den y-Achsenabschnitt d der Gleichung f(x) = k·x + d.
Steigung: k = y₂ − y₁x₂ − x₁ = −3 − 53 − (−1) = −84 = −2
d einsetzen (Punkt P): 5 = −2·(−1) + d = 2 + d → d = 3
Gleichung: f(x) = −2x + 3
Linear heißt: konstante Änderung pro Einheit (gleichbleibende Steigung).
Richtig: Kerze & Taxi
Eine lineare Funktion verläuft durch die Punkte (2 | 7) und (6 | 19).
Gib die Steigung k sowie den Achsenabschnitt d an.
k = 19 − 76 − 2 = 124 = 3
Einsetzen von (2 | 7): 7 = 3·2 + d → d = 1. Also f(x) = 3x + 1.
Richtig: Aussagen 1 und 2
Direkte Proportionalität heißt f(x) = k·x (durch den Ursprung, kein d).
Proportionalitätsfaktor: k = yx = 104 = 2,5 → f(x) = 2,5·x (Antwort A)
Lies aus dem Graphen die Steigung k und den Achsenabschnitt d ab und gib zusätzlich die Nullstelle an.
Achsenabschnitt: der Graph schneidet die y-Achse bei 4 → d = 4.
Steigung: von (0 | 4) nach (4 | 2) geht es 4 nach rechts und 2 hinunter → k = −24 = −0,5.
Nullstelle: 0 = −0,5x + 4 → x = 8. Also f(x) = −0,5x + 4.
Ordne jeder Funktionsgleichung die passende Beschreibung zu.
Von einer linearen Funktion f ist bekannt: f(2) = 1 und f(5) = 10.
Bestimme k und d.
Die beiden Punkte sind (2 | 1) und (5 | 10).
k = 10 − 15 − 2 = 93 = 3; einsetzen: 1 = 3·2 + d → d = −5.
f(x) = 3x − 5
Kontextaufgaben mit mehreren Teilfragen – modellieren, rechnen, interpretieren und begründen.
Zwei Fitnessstudios bieten Monatstarife an:
| Studio | Grundgebühr / Monat | pro Besuch |
|---|---|---|
| A | €30 | €8 |
| B | €50 | €4 |
x … Anzahl der Besuche pro Monat. Die Kostenfunktionen lauten kA(x) = 8x + 30 und kB(x) = 4x + 50.
a) Ab welcher Besuchszahl sind beide Studios gleich teuer?
b) Vergleiche die Monatskosten bei 8 Besuchen.
a) Gleichsetzen: 8x + 30 = 4x + 50 → 4x = 20 → x = 5 Besuche.
b) kA(8) = 8·8 + 30 = 94 €, kB(8) = 4·8 + 50 = 82 € → bei 8 Besuchen ist B günstiger.
Begründung: Für weniger als 5 Besuche lohnt A (niedrige Grundgebühr), ab mehr als 5 Besuchen lohnt B (geringerer Preis pro Besuch). Bei 10 Besuchen: kA = 110 € vs. kB = 90 € → Studio B.
Zwei Stromanbieter im Vergleich (x … Verbrauch in kWh):
a) Bei welchem Verbrauch sind beide gleich teuer, und wie hoch sind die Kosten dort?
b) Welcher Anbieter ist bei 200 kWh günstiger?
a) 0,25x + 10 = 0,35x → 10 = 0,1x → x = 100 kWh. Kosten: 0,35·100 = 35 €.
b) Bei 200 kWh: Öko 0,25·200 + 10 = 60 €, Basis 0,35·200 = 70 € → Öko ist günstiger. Allgemein: ab mehr als 100 kWh lohnt Öko (kleinerer Preis je kWh), darunter Basis.
Eine Maschine kostet neu €18.000. Nach 6 Jahren beträgt ihr Restwert nur noch €3.000. Es wird linear abgeschrieben.
Wertfunktion: W(t) = 18000 − k·t, mit t in Jahren.
a) Wie hoch ist die jährliche Wertminderung k?
b) Welchen Restwert hat die Maschine nach 4 Jahren?
c) Nach wie vielen Jahren ist die Maschine noch €5.500 wert?
a) Gesamtverlust 18000 − 3000 = 15000 € auf 6 Jahre: k = 150006 = 2500 €/Jahr. → W(t) = 18000 − 2500t.
b) W(4) = 18000 − 2500·4 = 8000 €.
c) 5500 = 18000 − 2500t → 2500t = 12500 → t = 5 Jahre. nach 5 Jahren
Zwei Läufer bewegen sich entlang einer geraden Strecke. Läufer 1 startet am Kilometer 0, Läufer 2 hat 6 km Vorsprung:
s in km, t in Stunden.
a) Wer läuft schneller?
b) Wann und wo holt Läufer 1 den Läufer 2 ein?
a) Die Steigung ist die Geschwindigkeit: 10 km/h > 7 km/h → Läufer 1 ist schneller.
b) Gleichsetzen: 10t = 7t + 6 → 3t = 6 → t = 2 h. Ort: s₁(2) = 10·2 = 20 km.
Warum holt Läufer 1 auf? Obwohl Läufer 2 mit 6 km vorne startet, verringert Läufer 1 den Abstand um 10 − 7 = 3 km pro Stunde. Nach 6 : 3 = 2 h ist der Vorsprung aufgebraucht. t = 2 h, bei 20 km
f(x) = k·x + d
k … Steigung (Δy bei Δx = 1); k > 0 steigend, k < 0 fallend, k = 0 waagrecht.
d … Schnittpunkt mit der y-Achse (Startwert).
k = y₂ − y₁x₂ − x₁
Dann einen Punkt in y = kx + d einsetzen und nach d auflösen.
k = Preis je Einheit / Geschwindigkeit / Rate.
d = Grundgebühr / Startwert / Fixkosten.
Direkte Proportionalität: d = 0, also f(x) = kx.
Gleichsetzen f(x) = g(x), nach x auflösen, einsetzen → Treffpunkt / „gleich teuer".
Linear: konstante Änderung (+/− gleich viel je Schritt).
Exponentiell: %-Wachstum / Verdopplung. Quadratisch: Fläche ∼ Seite².
halboffen: Term/Zahl in Lücke. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.