Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Polynomfunktionen verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (Grad & Verhalten im Unendlichen, Nullstellen aus der Produktform, Vielfachheit, Symmetrie, Funktionswerte), Teil 2 bringt typische Anwendungen: offene Schachtel, kubische Kosten- und Volumenmodelle.
Grad & Verhalten im Unendlichen, Nullstellen aus Produktform, Vielfachheit, Symmetrie, Funktionswerte – gemischte Antwortformate.
Maßgeblich ist der Term höchsten Grades: 2x³. Der Grad 3 ist ungerade und der Leitkoeffizient 2 > 0 ist positiv.
Bei ungeradem Grad mit positivem Leitkoeffizienten laufen die Äste gegenläufig: x → +∞ ⇒ f → +∞ und x → −∞ ⇒ f → −∞. Antwort A
Gegeben ist f(x) = x⁴ − 5x² + 4.
Bestimme den Grad, die Anzahl der reellen Nullstellen und die kleinste Nullstelle.
Grad: höchste Potenz ist x⁴ → Grad 4.
Nullstellen per Substitution u = x²: u² − 5u + 4 = 0 → u1 = 1, u2 = 4.
Rücksubstitution: x² = 1 ⇒ x = ±1 und x² = 4 ⇒ x = ±2.
Also vier Nullstellen −2, −1, 1, 2. Grad 4, 4 Nullstellen, kleinste = −2
Gegeben ist f(x) = 0,5·(x + 2)·(x − 1)·(x − 3) in Produktform.
Lies die drei Nullstellen ab und berechne f(0).
Nullstellen: ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. x + 2 = 0 ⇒ x = −2, x − 1 = 0 ⇒ x = 1, x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
f(0): f(0) = 0,5·(0 + 2)·(0 − 1)·(0 − 3) = 0,5·2·(−1)·(−3) = 3.
x₁ = −2, x₂ = 1, x₃ = 3, f(0) = 3
Richtig: Aussagen 1 und 2
Im Term x⁴ − 3x² + 1 kommen nur gerade Potenzen vor (x⁴, x² und das konstante Glied x⁰).
Damit gilt f(−x) = f(x) → die Funktion ist gerade und symmetrisch zur y-Achse. Antwort A
Gegeben ist f(x) = x³ − 4x.
Berechne die folgenden Funktionswerte.
f(2): 2³ − 4·2 = 8 − 8 = 0.
f(−1): (−1)³ − 4·(−1) = −1 + 4 = 3.
f(3): 3³ − 4·3 = 27 − 12 = 15.
Nullstellen: x³ − 4x = x·(x² − 4) = x·(x − 2)·(x + 2) = 0 → x = 0, 2, −2. f(2) = 0, f(−1) = 3, f(3) = 15
Ordne jeder Funktion die Anzahl ihrer reellen Nullstellen zu.
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat die Nullstellen −1, 0 und 2 und es gilt f(1) = −6.
Bestimme a in f(x) = a·(x + 1)·x·(x − 2) und berechne f(−2).
a bestimmen: Punkt (1 | −6) einsetzen: f(1) = a·(1 + 1)·1·(1 − 2) = a·2·1·(−1) = −2a.
−2a = −6 ⇒ a = 3. Damit ist f(x) = 3·(x + 1)·x·(x − 2).
f(−2): 3·(−2 + 1)·(−2)·(−2 − 2) = 3·(−1)·(−2)·(−4) = −24. a = 3, f(−2) = −24
Offene Schachtel, kubische Kosten- und Volumenmodelle – modellieren, rechnen, interpretieren.
Aus einem quadratischen Karton 20 cm × 20 cm werden an den vier Ecken Quadrate mit der Seitenlänge x ausgeschnitten und die Ränder hochgeklappt. So entsteht eine oben offene Schachtel mit dem Volumen
a) Für welche x ist V sinnvoll definiert? 0 < x < …
b) Berechne V(3) und V(4).
c) Lies am Graphen ab, für welches x das Volumen maximal wird und wie groß Vmax ist.
a) Es muss x > 0 gelten und der Boden (20 − 2x) muss positiv bleiben: 20 − 2x > 0 ⇒ x < 10. Also 0 < x < 10.
b) V(3) = 3·(20 − 6)² = 3·14² = 3·196 = 588 cm³.
V(4) = 4·(20 − 8)² = 4·12² = 4·144 = 576 cm³.
c) Aus dem Graphen liest man den Hochpunkt ab: das Maximum liegt bei x ≈ 3,33 cm mit Vmax ≈ 592,6 cm³. 0 < x < 10; V(3) = 588; V(4) = 576; x ≈ 3,33; V_max ≈ 592,6
Hinweis: Der exakte Wert ist x = 10/3 ≈ 3,33 cm, das maximale Volumen beträgt rund 592,59 cm³.
Die Gesamtkosten (in GE) eines Betriebs in Abhängigkeit von der produzierten Menge x werden durch eine kubische Kostenfunktion beschrieben:
a) Wie hoch sind die Fixkosten K(0)?
b) Berechne K(2) und K(4).
a) Fixkosten = Kosten bei Menge 0: K(0) = 0 − 0 + 0 + 10 = 10 GE (das konstante Glied).
b) K(2) = 2³ − 6·2² + 15·2 + 10 = 8 − 24 + 30 + 10 = 24 GE.
K(4) = 4³ − 6·4² + 15·4 + 10 = 64 − 96 + 60 + 10 = 38 GE. K(0) = 10, K(2) = 24, K(4) = 38
Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge x und die Höhe (x + 2). Sein Volumen ist
Berechne V(3) und V(5).
V(3): 3²·(3 + 2) = 9·5 = 45.
V(5): 5²·(5 + 2) = 25·7 = 175. V(3) = 45, V(5) = 175
Der Grad 4 ist gerade und der Leitkoeffizient ist positiv. Bei geradem Grad laufen beide Äste in dieselbe Richtung; bei positivem Leitkoeffizienten gehen sie nach oben.
Also x → +∞ ⇒ f → +∞ und x → −∞ ⇒ f → +∞ (beidseitig +∞). Antwort A
Allgemein: f(x) = anxn + … + a1x + a0
Der Grad n ist die höchste Potenz; an ist der Leitkoeffizient.
Maßgeblich sind Grad (gerade/ungerade) und das Vorzeichen von an.
gerader Grad: beide Äste in dieselbe Richtung (an > 0 → beidseitig +∞).
ungerader Grad: Äste gegenläufig (an > 0 → links −∞, rechts +∞).
Höchstens n reelle Nullstellen. Produktform: a(x − x1)·…·(x − xn).
Vielfachheit: gerade → Graph berührt die x-Achse; ungerade → Graph durchsetzt sie.
Höchstens n − 1 lokale Extremstellen (die Ableitung hat Grad n − 1).
nur gerade Potenzen → gerade Funktion, symmetrisch zur y-Achse (f(−x) = f(x)).
nur ungerade Potenzen → ungerade Funktion, punktsymmetrisch zum Ursprung (f(−x) = −f(x)).
halboffen: Wert/Term eintragen. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.