Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Potenzen, Wurzeln und ihre Funktionen verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (Potenz- und Wurzelfunktionen, Exponentenschreibweise, Definitionsbereich, Potenzgesetze), Teil 2 bringt typische Anwendungen: Volumen und Kantenlänge, Pendel, Skalierung und freier Fall.
Potenz- und Wurzelfunktionen, Exponentenschreibweise, Definitionsbereich, Potenzgesetze – gemischte Antwortformate.
Im Koordinatensystem ist der Graph einer Potenzfunktion f mit der Gleichung f(x) = a·x³ dargestellt. Der Graph verläuft durch den Punkt (2 | 4).
Ermittle den Wert von a und berechne f(−2).
a bestimmen: Punkt (2 | 4) einsetzen: 4 = a·2³ = a·8 → a = 0,5.
f(−2): x³ mit ungeradem Exponenten ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung): f(−2) = 0,5·(−2)³ = 0,5·(−8) = −4.
a = 0,5; f(−2) = −4
Richtig: Aussagen 1 und 2
Schreibe die Wurzelterme als Potenz xr und gib den Exponenten r an.
Es gilt n√(xm) = x(m/n).
5√(x³) = x(3/5) = x0,6 → r = 0,6.
√(x⁵) = x(5/2) = x2,5 → r = 2,5. r = 0,6 und r = 2,5
Eine Quadratwurzel ist nur für nicht-negative Radikanden definiert. Daher gilt x ≥ 0, also der Definitionsbereich [0; ∞). Antwort B
Berechne die Funktionswerte.
f(81) = √81 = 9 (denn 9² = 81).
g(4) = 4(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. f(81) = 9; g(4) = 8
Löse die Gleichungen. Gib jeweils die (positive) Lösung an.
x³ = 27 → x = 3√27 = 3.
x⁴ = 16 → x = 4√16 = 2 (positive Lösung; −2 ist die zweite).
√x = 7 → quadrieren → x = 7² = 49. x = 3; x = 2; x = 49
Ordne jeder Funktion die zutreffende Eigenschaft zu.
Vereinfache mit den Potenzgesetzen und gib jeweils den Exponenten an.
Multiplizieren: x²·x³ = x(2+3) = x⁵ → Exponent 5.
Potenzieren: (x²)³ = x(2·3) = x⁶ → Exponent 6.
Dividieren: x⁵ : x² = x(5−2) = x³ → Exponent 3. 5; 6; 3
Volumen und Kantenlänge, Pendel, Skalierung, freier Fall – modellieren, rechnen, interpretieren.
Für das Volumen V eines Würfels mit Kantenlänge a gilt
a) Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit V = 64 cm³?
b) Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit V = 125 cm³?
c) Wie groß ist die Oberfläche O = 6a² bei a = 4 cm?
a) Aus V = a³ folgt a = 3√V = 3√64 = 4 cm.
b) a = 3√125 = 5 cm.
c) O = 6a² = 6·4² = 6·16 = 96 cm². a = 4 cm; a = 5 cm; O = 96 cm²
Die Schwingungsdauer T (in s) eines Fadenpendels mit Länge L (in m) ist
a) Berechne T für L = 1 m.
b) Berechne T für L = 4 m.
c) Vervierfacht man die Pendellänge, so …
a) T = 2π·√(1 / 9,81) ≈ 2π·0,319 ≈ 2,01 s.
b) T = 2π·√(4 / 9,81) ≈ 2π·0,639 ≈ 4,01 s.
c) Weil L unter der Wurzel steht, gilt T ∝ √L. Vervierfachung von L → Faktor √4 = 2 für T → die Schwingungsdauer verdoppelt sich. verdoppelt sich
Deutung: Die Wurzel dämpft das Wachstum: viermal so lang bedeutet nur doppelt so lange Schwingungsdauer.
Die Kantenlänge eines Würfels wird verdoppelt. Wie ändern sich Volumen und Oberfläche?
Erinnerung: V = a³ und O = 6a².
Volumen: V ∝ a³ → bei doppelter Kante 2³ = 8 → das Volumen wird achtmal so groß.
Oberfläche: O ∝ a² → bei doppelter Kante 2² = 4 → die Oberfläche wird viermal so groß. Volumen ×8, Oberfläche ×4
Beim freien Fall (ohne Luftwiderstand) ergibt sich die Aufprallgeschwindigkeit v (in m/s) aus der Fallhöhe h (in m) durch
a) Wie schnell ist der Körper nach h = 5 m?
b) Wie schnell nach h = 20 m?
c) Vervierfacht man die Fallhöhe h, so …
a) v = √(2·9,81·5) = √98,1 ≈ 9,9 m/s.
b) v = √(2·9,81·20) = √392,4 ≈ 19,8 m/s.
c) Weil h unter der Wurzel steht, gilt v ∝ √h. Vervierfachung von h → Faktor √4 = 2 → die Geschwindigkeit verdoppelt sich. verdoppelt sich
Form: f(x) = a·xn.
Der Faktor a streckt/staucht den Graphen; a < 0 spiegelt ihn an der x-Achse.
gerades n: gerade Funktion → achsensymmetrisch zur y-Achse.
ungerades n: ungerade Funktion → punktsymmetrisch zum Ursprung.
x−n = 1xn
Bei x = 0 entsteht eine Definitionslücke (Division durch 0).
n√x = x(1/n), allgemein n√(xm) = x(m/n).
Für gerade Wurzeln gilt x ≥ 0 (Definitionsbereich).
xa·xb = x(a+b)
(xa)b = x(a·b)
xa : xb = x(a−b)
halboffen: Wert/Term eintragen. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.