Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Parabeln verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (Parameter, Scheitel, Nullstellen, Zuordnung), Teil 2 bringt typische Anwendungen: Wurfparabel, Brückenbogen, Gewinn- und Flächenoptimierung, Bremsweg.
Parameter, Scheitel, Nullstellen, Funktionswerte – gemischte Antwortformate.
Im Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion f mit der Gleichung f(x) = a·x² + c dargestellt.
Ermittle die Werte der Parameter a und c. Verwende die markierten Gitterpunkte.
c ablesen: die Parabel schneidet die y-Achse bei (0 | −2) → c = −2.
a bestimmen: Punkt (2 | 0) einsetzen: 0 = a·2² − 2 = 4a − 2 → a = 0,5.
f(x) = 0,5·x² − 2
Richtig: Aussagen 1 und 3
Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 11.
Berechne die Koordinaten des Scheitels S = (xS | yS).
Scheitel-x: xS = −b2a = 62 = 3.
Scheitel-y: yS = f(3) = 9 − 18 + 11 = 2.
Also S = (3 | 2).
Öffnung: a = −1 < 0 → nach unten geöffnet.
Scheitel: xS = −b2a = 4−2 = −2, yS = f(−2) = −4 + 8 − 1 = 3. Antwort B: S = (−2 | 3), nach unten
Bestimme zu jeder Parabel den Scheitelpunkt und ordne ihn zu.
Scheitel über xS = −b/(2a), dann yS = f(xS):
Gegeben ist f(x) = x² − x − 6.
Bestimme die beiden Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Nullstellen (kleine Lösungsformel mit a = 1, b = −1, c = −6):
x1,2 = 1 ± √(1 + 24)2 = 1 ± 52 → x₁ = −2, x₂ = 3.
(Schneller per Faktorisieren: (x − 3)(x + 2) = 0.)
y-Achse: f(0) = −6. x₁ = −2, x₂ = 3, f(0) = −6
Gegeben ist f(x) = 2x² − 3x + 1.
a) Berechne f(2).
b) Für welche x gilt f(x) = 1?
a) f(2) = 2·4 − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
b) 2x² − 3x + 1 = 1 → 2x² − 3x = 0 → x·(2x − 3) = 0.
Daraus x = 0 oder 2x − 3 = 0 → x = 1,5. x = 0 und x = 1,5
Eine Parabel verläuft durch die Punkte A(0 | −3), B(1 | −4) und C(3 | 0).
Bestimme den Streckungsfaktor a und den y-Achsenabschnitt f(0).
y-Achse: Punkt A(0 | −3) → f(0) = c = −3.
a bestimmen: B: a + b + c = −4 → a + b = −1; C: 9a + 3b + c = 0 → 3a + b = 1.
Subtrahieren: 2a = 2 → a = 1 (und b = −2). Also f(x) = x² − 2x − 3. a = 1, f(0) = −3
Wurfparabel, Brückenbogen, Optimierung, Bremsweg – modellieren, rechnen, interpretieren.
Ein Ball wird schräg nach oben geworfen. Seine Höhe (in Metern) zum Zeitpunkt t (in Sekunden) beschreibt
a) Aus welcher Höhe wird der Ball abgeworfen (t = 0)?
b) Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt, und wie hoch ist dieser?
c) Wann trifft der Ball auf dem Boden auf (h = 0)?
a) h(0) = 1,5 m (das ist der konstante Summand).
b) Scheitel-Zeit: tS = −b/(2a) = −20/(2·(−5)) = 2 s. Höhe: h(2) = −5·4 + 40 + 1,5 = 21,5 m.
c) −5t² + 20t + 1,5 = 0. Mit der Lösungsformel: t = −20 ± √(400 + 30)−10 → die positive Lösung ist t ≈ 4,07 s. ≈ 4,07 s
Deutung: Die 1,5 ist die Abwurfhöhe, der Faktor −5 kommt von der Schwerkraft (−g/2 mit g ≈ 10 m/s²), und 20 ist die Anfangsgeschwindigkeit nach oben.
Ein Tunnel hat ein parabelförmiges Profil: Er ist an der Basis 8 m breit und in der Mitte 4 m hoch. Die Höhe wird durch f(x) = a·x² + 4 beschrieben, wobei x der waagrechte Abstand (in m) von der Mitte ist.
a) Bestimme den Parameter a (Tipp: am Rand bei x = 4 ist die Höhe 0).
b) Wie hoch ist der Tunnel 2 m neben der Mitte?
c) Ein Lkw ist 3,2 m hoch und fährt mittig (bis x = 1 auf jeder Seite). Passt er durch?
a) Randpunkt (4 | 0) einsetzen: 0 = a·4² + 4 = 16a + 4 → a = −0,25. → f(x) = −0,25x² + 4.
b) f(2) = −0,25·4 + 4 = −1 + 4 = 3 m.
c) Am Rand des Lkw (x = 1): f(1) = −0,25 + 4 = 3,75 m. Das ist mehr als 3,2 m → der Lkw passt durch. Ja (3,75 m > 3,2 m)
Der Monatsgewinn (in €) eines Kleinbetriebs in Abhängigkeit von der Stückzahl x lautet
a) Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal, und wie hoch ist er?
b) Zwischen welchen Stückzahlen wird überhaupt Gewinn gemacht (Nullstellen von G)?
a) Maximum = Scheitel: xS = −b/(2a) = −40/(2·(−0,5)) = 40 Stück. G(40) = −0,5·1600 + 1600 − 600 = 200 €.
b) −0,5x² + 40x − 600 = 0 |·(−2) → x² − 80x + 1200 = 0.
x = 80 ± √(6400 − 4800)2 = 80 ± 402 → x₁ = 20, x₂ = 60.
Deutung: Zwischen 20 und 60 Stück ist G(x) > 0 → Gewinnzone. max. 200 € bei 40 Stück; Gewinn von 20 bis 60 Stück
Ein rechteckiger Gemüsegarten soll an einer Hausmauer angelegt werden. Für die drei freien Seiten (eine Länge l und zwei Breiten b) stehen 40 m Zaun zur Verfügung – die vierte Seite ist die Mauer.
Es gilt l + 2b = 40, also l = 40 − 2b. Die Fläche ist A(b) = b·(40 − 2b) = −2b² + 40b.
a) Für welche Breite b wird die Fläche maximal?
b) Wie groß sind dann die Länge l und die maximale Fläche A?
a) A(b) = −2b² + 40b ist eine nach unten geöffnete Parabel; das Maximum liegt im Scheitel: bS = −40/(2·(−2)) = 10 m.
b) l = 40 − 2·10 = 20 m, A = 10·20 = 200 m². b = 10 m, l = 20 m, A = 200 m²
Eine vereinfachte Faustformel beschreibt den Bremsweg s (in m) eines Pkw in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v (in km/h):
a) Wie lang ist der Bremsweg bei 60 km/h?
b) Wie lang bei 100 km/h?
c) Was passiert mit dem Bremsweg, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt?
a) s(60) = 0,01·60² = 0,01·3600 = 36 m.
b) s(100) = 0,01·100² = 0,01·10000 = 100 m.
c) Weil v quadratisch eingeht, wird der Bremsweg bei doppelter Geschwindigkeit 2² = 4-mal so lang. Beispiel: 50 km/h → 25 m, 100 km/h → 100 m. vervierfacht sich
Allgemein: f(x) = ax² + bx + c
Faktorisiert: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) mit den Nullstellen x₁, x₂.
a > 0 → nach oben (Minimum); a < 0 → nach unten (Maximum).
großes |a| → schmal, kleines |a| → breit.
c = f(0) → Schnittpunkt mit der y-Achse.
xS = −b2a, dann yS = f(xS).
Der Scheitel ist Höchst- bzw. Tiefpunkt – wichtig für Maximum/Minimum in Anwendungen.
x1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a
Diskriminante D = b² − 4ac: D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine reelle Nullstelle.
Wurf/Flug: h(t) = −g2t² + v₀t + h₀ – max. Höhe = Scheitel.
Gewinn/Fläche: Maximum im Scheitel, Break-even = Nullstellen.
halboffen: Wert/Term eintragen. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.