Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Die Funktionsgleichung einer Parabel aufstellen – aus gegebenen Punkten, aus Nullstellen oder aus einer Sachsituation. Ganz im offenen Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur: Du bekommst eine Aufgabe, der Lösungsweg ist frei – es zählt das Ergebnis. Teil 1 übt das Aufstellen und die Eigenschaften, Teil 2 bringt klassische Modellierungen: Brückenbogen, Golfball-Flugbahn, Wasserstrahl.
Trick beim Modellieren: das Koordinatensystem geschickt legen – x-Achse auf den Boden / die Wasseroberfläche, y-Achse durch den höchsten Punkt. Dann ist die Parabel symmetrisch zur y-Achse und hat die einfache Form f(x) = a·x2 + c.
Parabeln aus Punkten, Nullstellen und Bedingungen aufstellen, Scheitelpunkt und Faktor a bestimmen.
Eine zur y-Achse symmetrische, nach unten geöffnete Parabel hat ihren höchsten Punkt bei (0|8) und verläuft durch (4|0). Stelle die Funktionsgleichung f(x) = ax2 + bx + c auf.
Höchster Punkt auf der y-Achse → die Parabel ist symmetrisch, also b = 0 und f(x) = ax2 + c.
c ist der Funktionswert bei x = 0 → c = 8. Punkt (4|0) einsetzen: 0 = 16a + 8 ⟹ a = −0,5.
f(x) = −0,5x2 + 8; f(2) = −2 + 8 = 6. −0,5 · 0 · 8 · 6
Bestimme die Gleichung f(x) = ax2 + bx + c der Parabel durch O(0|0), P(1|1), Q(2|3).
O(0|0): c = 0. P: a + b = 1; Q: 4a + 2b = 3.
Lösen des Systems: a = 0,5, b = 0,5.
f(x) = 0,5x2 + 0,5x; f(3) = 4,5 + 1,5 = 6. 0 · 0,5 · 0,5 · 6
Eine Parabel hat die Nullstellen x1 = −1 und x2 = 3 und schneidet die y-Achse bei −6. Bestimme a, b, c.
Mit den Nullstellen: f(x) = a(x + 1)(x − 3). y-Achse: f(0) = a·(1)·(−3) = −3a = −6 ⟹ a = 2.
Ausmultiplizieren: f(x) = 2(x2 − 2x − 3) = 2x2 − 4x − 6; f(1) = 2 − 4 − 6 = −8. 2 · −4 · −6 · −8
Aussagen 1 und 2
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel f(x) = x2 − 6x + 5. Der Lösungsweg ist frei wählbar.
Z. B. über xS = −b2a = 62 = 3, dann yS = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. (Auch quadratische Ergänzung oder Ableitung führen zum Ziel.)
Scheitel S(3|−4); f(0) = 5. 3 · −4 · 5
Symmetrie zur y-Achse bedeutet b = 0 – der lineare Term fällt weg. Antwort A
Ordne jeder Beschreibung den passenden Faktor a zu (verglichen mit der Normalparabel y = x2).
Eine nach oben geöffnete Parabel mit a = 1 hat die Nullstellen x1 = −2 und x2 = 4.
Mit a = 1 und den Nullstellen: f(x) = (x + 2)(x − 4) = x2 − 2x − 8.
f(0) = (2)(−4) = −8; Scheitel-x = Mitte = −2 + 42 = 1; f(1) = (3)(−3) = −9. −8 · 1 · −9
Flugbahnen, Brückenbögen und Strahlen – Koordinatensystem und Lösungsweg frei wählbar.
Ein Golfball wird 80 m weit geschlagen und erreicht eine maximale Höhe von 8 m. Stelle die Funktionsgleichung der Flugbahn auf (Koordinatensystem und Lösungsweg frei wählbar).
Lege die x-Achse auf den Boden, Abschlag in den Ursprung. Dann sind die Nullstellen x = 0 und x = 80, der höchste Punkt liegt symmetrisch dazwischen bei x = 40.
Mit f(x) = a·x·(x − 80): f(40) = a·40·(−40) = −1600a = 8 ⟹ a = −0,005, also f(x) = −0,005x2 + 0,4x.
f(20) = −0,005·400 + 0,4·20 = −2 + 8 = 6 m. 40 · −0,005 · 6
Ein Wasserstrahl hat eine horizontale Reichweite von 1,0 m und eine Höhe von 0,8 m. x-Achse = Boden, Austritt im Ursprung. Stelle die Funktionsgleichung auf (Lösungsweg frei wählbar).
Nullstellen bei x = 0 und x = 1, höchster Punkt in der Mitte bei x = 0,5.
f(x) = a·x·(x − 1): f(0,5) = a·0,5·(−0,5) = −0,25a = 0,8 ⟹ a = −3,2, also f(x) = −3,2x2 + 3,2x.
f(0,25) = −0,2 + 0,8 = 0,6 m. 0,5 · −3,2 · 0,6
Ein parabelförmiger Brückenbogen: der höchste Punkt liegt 92 m über dem Wasser, in einer Höhe von 27 m ist der Bogen 247 m breit. Wähle die Achsen geschickt (x-Achse = Wasseroberfläche, y-Achse durch den höchsten Punkt) – die Parabel ist dann symmetrisch zur y-Achse: f(x) = a·x2 + c. Die Randpunkte sind B(±123,5 | 27).
Höchster Punkt auf der y-Achse → c = 92. Halbe Spannweite = 2472 = 123,5 m.
Randpunkt (123,5 | 27) einsetzen: 27 = a·123,52 + 92 ⟹ a = 27 − 92123,52 = −6515252,25 ≈ −0,00426.
f(x) ≈ −0,00426·x2 + 92. 92 · 123,5 · −0,00426
Die Wurfparabel ist symmetrisch: Abwurf und Landung liegen gleich hoch (Boden), also liegt der höchste Punkt genau dazwischen, bei x = w2. Antwort A
f(x) = ax2 + bx + c
c = f(0) ist der y-Achsenabschnitt.
f(x) = a(x − x1)(x − x2)
praktisch, wenn die Nullstellen bekannt sind (a über einen weiteren Punkt).
3 Punkte in ax2+bx+c einsetzen → Gleichungssystem für a, b, c lösen.
xS = −b2a, dann yS = f(xS). Höchst- bzw. Tiefpunkt der Parabel.
a > 0 nach oben, a < 0 nach unten. |a| > 1 enger, |a| < 1 breiter.
Koordinatensystem geschickt legen (x-Achse = Boden, y-Achse durch den Scheitel → b = 0). Höchster Punkt mittig: x = Weite2.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.