Berufsreifeprüfung · Angewandte Mathematik
Sinus, Kosinus & Co. verstehen und anwenden – im Stil der zentralen BRP/SRDP-Klausur. Teil 1 übt die Grundkompetenzen (Amplitude, Periode, Verschiebung; sin-, cos-, tan-Werte; Eigenschaften; Periode T = 2π/b), Teil 2 bringt typische Anwendungen: Tagestemperatur, Riesenrad, Gezeiten und Wechselspannung.
Hinweis: Alle Winkel sind im Bogenmaß (Radiant) angegeben – π = 180°. Rechne also mit sin(π/2) = 1, nicht mit Grad.
Amplitude, Periode, Verschiebung; Schlüsselwerte; Eigenschaften – gemischte Antwortformate, alles im Bogenmaß.
Gegeben ist die Funktion f(x) = 3·sin(2x) + 1 (im Bogenmaß).
Bestimme die Amplitude a, die Periode in der Form T = k·π (gib k an) und die Verschiebung der Mittellinie d.
Allgemeine Form f(x) = a·sin(b·x) + d: hier a = 3, b = 2, d = 1.
Amplitude: a = 3.
Periode: T = 2πb = 2π2 = π → k = 1.
Mittellinie: d = 1. Wertebereich daher [1 − 3 ; 1 + 3] = [−2 ; 4]. a = 3, T = π (k = 1), d = 1
Der abgebildete Graph zeigt eine Sinusfunktion f(x) = 2·sin(x) (im Bogenmaß).
Lies aus dem Graphen die Amplitude und die Periode (in der Form T = k·π, gib k an) ab.
Amplitude: der Graph schwankt zwischen −2 und +2 → maximale Auslenkung 2.
Periode: eine volle Schwingung dauert von x = 0 bis x = 2π → T = 2π, also k = 2. Amplitude 2, T = 2π (k = 2)
Berechne die folgenden Werte (im Bogenmaß).
π/2 entspricht 90°: sin(π/2) = sin(90°) = 1 (Höchstwert).
π entspricht 180°: cos(π) = cos(180°) = −1 und sin(π) = sin(180°) = 0. 1, −1, 0
Richtig: Aussagen 1 und 2
Die Periode einer Funktion f(x) = sin(b·x) berechnet man mit T = 2πb.
Gib die Periode jeweils in der Form T = k·π an (gib k an).
b = 4: T = 2π4 = π2 → k = 0,5.
b = 0,5: T = 2π0,5 = 4π → k = 4. k = 0,5 bzw. k = 4
In f(x) = a·sin(b·x) ist a = 4 die Amplitude und b = 3.
Periode: T = 2πb = 2π3. Antwort A
Ordne jeder Funktion ihre Periode T zu (Bogenmaß).
Mit T = 2πb ergibt sich:
Gegeben ist f(x) = 5·sin(x) − 2 (im Bogenmaß).
Bestimme das Maximum, das Minimum und die Mittellinie d.
sin(x) nimmt Werte zwischen −1 und +1 an.
Maximum: f = 5·1 − 2 = 3.
Minimum: f = 5·(−1) − 2 = −7.
Mittellinie: d = −2 (der konstante Summand). Max = 3, Min = −7, d = −2
Tagestemperatur, Riesenrad, Gezeiten, Wechselspannung – periodische Modelle auswerten und interpretieren.
Die Tagestemperatur (in °C) an einem Frühlingstag wird näherungsweise durch
beschrieben, wobei t die Stunden ab Mitternacht angibt.
a) Wie warm ist es um Mitternacht (t = 0)?
b) Welche Höchsttemperatur wird (bei t = 12) erreicht?
c) Wie groß ist die Amplitude der Temperaturschwankung?
a) t = 0: cos(0) = 1 → T(0) = −6·1 + 14 = 8 °C (Minimum, kälteste Stunde der Nacht).
b) t = 12: π12·12 = π, also cos(π) = −1 → T(12) = −6·(−1) + 14 = 20 °C.
c) Der Faktor vor dem Kosinus ist 6 → Amplitude 6 °C, der Mittelwert (Mittellinie) liegt bei 14 °C. T(0) = 8 °C, Max = 20 °C, Amplitude 6 °C
Die Höhe einer Gondel eines Riesenrads (in Metern) über dem Boden wird modelliert durch
mit der Zeit t in Sekunden. Eine volle Umdrehung dauert 40 s, der Einstieg ist ganz unten.
a) In welcher Höhe steigt man ein (t = 0)?
b) Wie hoch ist die Gondel nach 20 s (halbe Umdrehung)?
c) Wie groß ist die maximale Höhe?
a) t = 0: cos(0) = 1 → h(0) = 20 − 18·1 = 2 m (unterster Punkt).
b) t = 20: 2π40·20 = π, also cos(π) = −1 → h(20) = 20 + 18 = 38 m.
c) Der höchste Punkt liegt bei Nabe + Radius = 20 + 18 = 38 m. h(0) = 2 m, h(20) = 38 m, Max = 38 m
Der Wasserstand (in Metern) an einer Küste wird näherungsweise beschrieben durch
mit der Zeit t in Stunden; eine volle Tide dauert 12 h.
a) Wie hoch ist der Wasserstand zu Beginn (t = 0)?
b) Wie hoch steht das Wasser nach 3 h (Hochwasser)?
c) Wie groß ist der Tidenhub (Maximum − Minimum)?
a) t = 0: sin(0) = 0 → H(0) = 0 + 3 = 3 m (Mittelwasser).
b) t = 3: 2π12·3 = π2, also sin(π/2) = 1 → H(3) = 2,5 + 3 = 5,5 m.
c) Tidenhub = 2·Amplitude = 2·2,5 = 5 m. H(0) = 3 m, H(3) = 5,5 m, Hub = 5 m
Die Netz-Wechselspannung (in Volt) wird beschrieben durch
mit der Zeit t in Sekunden.
a) Wie groß ist der Scheitelwert (Amplitude) Û?
b) Wie groß ist die Periode T (in Sekunden)?
c) Welche Frequenz hat die Spannung (in Hz)?
a) Der Faktor vor dem Sinus ist die Amplitude → Û = 325 V.
b) Aus U(t) = Û·sin(2π·f·t) liest man f = 50 Hz ab. Periode: T = 1f = 150 = 0,02 s.
c) Die Frequenz ist f = 50 Hz (Netzfrequenz). Û = 325 V, T = 0,02 s, f = 50 Hz
sin und cos: Periode 2π, Wertebereich [−1 ; 1].
tan: Periode π, Wertebereich ℝ (mit Polstellen).
f(x) = a·sin(b·x) + d
a = Amplitude (Höhe der Schwingung).
d = Mittellinie / vertikale Verschiebung.
T = 2πb
großes b → kurze Periode (schnelle Schwingung), kleines b → lange Periode.
sin ist ungerade: sin(−x) = −sin(x) → punktsymmetrisch.
cos ist gerade: cos(−x) = cos(x) → achsensymmetrisch.
sin: bei 0 → 0, π/2 → 1, π → 0, 3π/2 → −1, 2π → 0.
cos: bei 0 → 1, π/2 → 0, π → −1, 3π/2 → 0, 2π → 1.
Umrechnung: π = 180°, also π/2 = 90°.
halboffen: Wert/Term eintragen. 2 aus 5: genau 2 ankreuzen. 1 aus 6: eine wählen. Zuordnung: passend verbinden.
Hak ab, was sicher sitzt – tippe auf eine Zeile.