Übungszettel · 6 Aufgaben

Lineare Funktionen: Grundlagen & Anwendung

Steigung, Geradengleichungen, Schnittpunkte und lineare Modelle.

Begründe Steigungen als Änderung von y pro Änderung von x. Bei Sachaufgaben gehören Einheiten und ein sinnvoller Definitionsbereich zur Antwort.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Geradengleichung
f(x) = m · x + b; m ist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.
Zwei Punkte
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), falls x₂ ≠ x₁. Danach einen Punkt einsetzen, um b zu bestimmen.
Schnittpunkt und Nullstelle
Schnittpunkt zweier Graphen: f(x) = g(x). Nullstelle: f(x) = 0.
Parallel und senkrecht
Parallele Geraden haben gleiche Steigung. Für senkrechte Geraden mit endlichen Steigungen gilt m₁ · m₂ = −1.

Geraden beschreiben und aufstellen

Aufgabe 01

Eine Funktion auswerten

Für f(x) = −2,5x + 8: Bestimme Steigung, y-Achsenabschnitt, f(2) und die Nullstelle.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. m = −2,5 und b = 8 lassen sich direkt ablesen.
  2. f(2) = −2,5 · 2 + 8 = 3.
  3. Für die Nullstelle: 0 = −2,5x + 8, also 2,5x = 8.

Ergebnis: m = −2,5; b = 8; f(2) = 3; Nullstelle x = 3,2.

Aufgabe 02

Gerade durch zwei Punkte

Bestimme die Funktion durch P = (−2 | 7) und Q = (4 | −5). Kontrolliere beide Punkte.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. m = (−5 − 7)/(4 − (−2)) = −12/6 = −2.
  2. P einsetzen: 7 = −2 · (−2) + b, also b = 3.
  3. Kontrolle: f(−2) = 7 und f(4) = −5.

Ergebnis: f(x) = −2x + 3.

Aufgabe 03

Ist die Wertetabelle linear?

Eine Tabelle enthält die Punkte (−1 | 5), (0 | 3), (2 | −1) und (5 | −7). Prüfe, ob sie zu einer linearen Funktion passen, und gib diese an.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Die x-Abstände sind nicht gleich. Deshalb müssen Quotienten Δy/Δx verglichen werden.
  2. (3 − 5)/(0 − (−1)) = −2; (−1 − 3)/(2 − 0) = −2; (−7 − (−1))/(5 − 2) = −2.
  3. Alle Steigungen sind gleich. Bei x = 0 gilt y = 3.

Ergebnis: Ja: f(x) = −2x + 3.

Modelle, Schnittpunkte und Lagebeziehungen

Aufgabe 04

Zwei Taxitarife vergleichen

Tarif A kostet 4 € Grundgebühr und 1,80 € pro Kilometer. Tarif B kostet 7 € Grundgebühr und 1,20 € pro Kilometer. Stelle beide Kostenfunktionen auf und bestimme, wann welcher Tarif günstiger ist.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. K_A(x) = 4 + 1,8x und K_B(x) = 7 + 1,2x, für x ≥ 0 in Kilometern.
  2. Gleichsetzen: 4 + 1,8x = 7 + 1,2x ergibt 0,6x = 3 und x = 5.
  3. Bei 5 km kosten beide 13 €. A hat den kleineren Startpreis, B die kleinere Steigung.

Ergebnis: Unter 5 km ist A günstiger, bei 5 km gleich teuer, über 5 km B.

Aufgabe 05

Parallel und senkrecht durch einen Punkt

Gegeben sind f(x) = 0,5x − 3 und P = (2 | 4). Bestimme die zu f parallele Gerade g und die zu f senkrechte Gerade h durch P.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Parallel bedeutet m_g = 0,5. Aus 4 = 0,5 · 2 + b_g folgt b_g = 3.
  2. Senkrecht bedeutet m_h = −1/0,5 = −2.
  3. Aus 4 = −2 · 2 + b_h folgt b_h = 8.

Ergebnis: g(x) = 0,5x + 3; h(x) = −2x + 8.

Aufgabe 06

Wassertank entleeren

Ein Tank enthält 900 Liter und verliert gleichmäßig 25 Liter pro Minute. Stelle V(t) auf, gib den sinnvollen Zeitbereich an, bestimme V(12) und den Zeitpunkt mit noch 300 Litern.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. V(t) = 900 − 25t, mit t in Minuten.
  2. Leer ist der Tank bei 900 − 25t = 0, also t = 36. Der Zeitbereich ist 0 ≤ t ≤ 36.
  3. V(12) = 900 − 300 = 600 Liter.
  4. 300 = 900 − 25t ergibt t = 24 Minuten.

Ergebnis: V(t) = 900 − 25t für 0 ≤ t ≤ 36; V(12) = 600 Liter; 300 Liter nach 24 Minuten.