Übungszettel · 8 Aufgaben

Quadratische Gleichungen & Mitternachtsformel

Reinquadratische und inhomogene Gleichungen, Diskriminante und Textaufgaben.

Gesucht sind reelle Lösungen. Bringe jede Gleichung zuerst auf die Form ax² + bx + c = 0. Prüfe bei Textaufgaben, welche rechnerischen Lösungen zur Situation passen.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Normalform
ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Hier werden insbesondere inhomogene Gleichungen mit c ≠ 0 geübt.
Mitternachtsformel
x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Die gesamte Summe im Zähler wird durch 2a geteilt.
Diskriminante
D = b² − 4ac. D > 0: zwei reelle Lösungen; D = 0: eine doppelte Lösung; D < 0: keine reelle Lösung.
Einfachere Fälle
Bei b = 0 nach x² auflösen und beide Vorzeichen prüfen. Bei c = 0 lässt sich x ausklammern.

Gleichungsformen und Formel

Aufgabe 01

Koeffizienten erkennen

Gib a, b und c für x² − 9 = 0, x² + 5x = 0 und 2x² − 3x − 2 = 0 an. Welche Gleichungen haben c ≠ 0? Ist 0x² + 2x − 4 = 0 noch quadratisch?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Fehlende Terme haben Koeffizient 0. Es ergeben sich (a,b,c) = (1,0,−9), (1,5,0) und (2,−3,−2).
  2. In der ersten und dritten Gleichung ist c ≠ 0. In der zweiten kann x ausgeklammert werden.
  3. In der letzten Gleichung ist a = 0; deshalb ist sie linear, nicht quadratisch.

Ergebnis: Koeffizienten: (1,0,−9), (1,5,0), (2,−3,−2). Erste und dritte Gleichung: c ≠ 0. Letzte Gleichung: linear.

Aufgabe 02

Reinquadratische Gleichung

Löse 3x² − 27 = 0 und prüfe beide Lösungen durch Einsetzen.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. 3x² = 27, also x² = 9.
  2. Die Gleichung x² = 9 hat zwei Lösungen: x = 3 und x = −3.
  3. In beiden Fällen ist 3 · 9 − 27 = 0.

Ergebnis: L = {−3; 3}.

Aufgabe 03

Mitternachtsformel mit ganzen Koeffizienten

Löse 2x² + 7x + 3 = 0 mit der Mitternachtsformel.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. a = 2, b = 7, c = 3.
  2. D = 7² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25.
  3. x₁,₂ = (−7 ± 5)/4. Das ergibt −2/4 und −12/4.

Ergebnis: L = {−3; −1/2}.

Aufgabe 04

Irrationale Lösungen

Löse 5x² − 4x − 3 = 0 exakt und auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. a = 5, b = −4 und c = −3; deshalb ist −b = 4.
  2. D = (−4)² − 4 · 5 · (−3) = 76 = 4 · 19.
  3. x₁,₂ = (4 ± √76)/10 = (2 ± √19)/5.

Ergebnis: x₁ = (2 + √19)/5 ≈ 1,27; x₂ = (2 − √19)/5 ≈ −0,47.

Lösungsanzahl und Anwendungen

Aufgabe 05

Eine doppelte Lösung

Bestimme die Lösungsmenge von 9x² − 12x + 4 = 0. Erkläre das Ergebnis auch mit einer binomischen Formel.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. D = (−12)² − 4 · 9 · 4 = 144 − 144 = 0.
  2. x = 12/18 = 2/3.
  3. Die linke Seite ist (3x − 2)². Sie wird nur für 3x − 2 = 0 null.

Ergebnis: L = {2/3}; die Nullstelle ist doppelt.

Aufgabe 06

Keine reelle Lösung

Untersuche x² + 2x + 5 = 0 auf reelle Lösungen. Begründe sowohl mit der Diskriminante als auch durch quadratische Ergänzung.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. D = 2² − 4 · 1 · 5 = −16 < 0.
  2. x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4.
  3. Für reelles x ist ein Quadrat nicht negativ; die linke Seite ist deshalb mindestens 4.

Ergebnis: Keine reelle Lösung; L = ∅.

Aufgabe 07

Erst umformen, dann lösen

Löse (x − 1)(x + 2) = 2x + 4. Prüfe die Lösungen in der ursprünglichen Gleichung.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Links ausmultiplizieren: x² + x − 2 = 2x + 4.
  2. Alles nach links: x² − x − 6 = 0 = (x − 3)(x + 2).
  3. Daraus x = 3 oder x = −2. Bei x = 3 steht auf beiden Seiten 10; bei x = −2 steht auf beiden Seiten 0.

Ergebnis: L = {−2; 3}.

Aufgabe 08

Rechteck aus einer Flächenangabe

Ein Rechteck ist 3 m länger als breit und hat eine Fläche von 54 m². Bestimme beide Seitenlängen.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Die Breite sei x > 0. Dann ist die Länge x + 3.
  2. x(x + 3) = 54 ergibt x² + 3x − 54 = 0.
  3. Faktorisieren: (x − 6)(x + 9) = 0. Rechnerische Lösungen sind 6 und −9.
  4. Eine negative Seitenlänge ist unzulässig. Daher x = 6 und x + 3 = 9.

Ergebnis: Breite 6 m, Länge 9 m.