Übungszettel · 8 Aufgaben

Trigonometrie & Vermessung

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck und in Vermessungsaufgaben.

Winkel in Grad: Taschenrechner auf DEG stellen. Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen runden. Eine Skizze mit bekanntem Winkel und gesuchten Strecken gehört zum Lösungsweg.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Bezeichnungen
Im Referenzdreieck ist γ = 90°. Die Seite c ist die Hypotenuse; a liegt gegenüber α, b liegt an α an.
Die drei Winkelfunktionen
sin α = a/c; cos α = b/c; tan α = a/b. Gegen- und Ankathete hängen vom betrachteten Winkel ab.
Seiten und Winkel
a² + b² = c²; α + β = 90°. Um einen Winkel zu finden, arcsin, arccos oder arctan verwenden.
Rechtwinkliges Dreieck mit Bezug auf Winkel AlphaA links unten, B rechts oben und C rechts unten. Bei C ist der rechte Winkel. a ist die Gegenkathete zu Alpha bei A, b die Ankathete und c die Hypotenuse.ABC · 90°αc · HypotenuseaGegenkatheteb · Ankathete
Bezeichnungen bezogen auf α bei A. Die Skizze ist nicht maßstäblich.

Rechtwinklige Dreiecke

Aufgabe 01

Drei Seiten, drei Verhältnisse

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt γ = 90°, a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm. Bestimme sin α, cos α, tan α sowie α und β.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. c = 10 cm ist die Hypotenuse. Zu α ist a die Gegenkathete und b die Ankathete.
  2. sin α = 6/10 = 0,6; cos α = 8/10 = 0,8; tan α = 6/8 = 0,75.
  3. α = arcsin(0,6) ≈ 36,87°. β = 90° − α ≈ 53,13°.

Ergebnis: sin α = 0,6; cos α = 0,8; tan α = 0,75; α ≈ 36,87°; β ≈ 53,13°.

Aufgabe 02

Hypotenuse und Winkel gegeben

Es gilt γ = 90°, c = 12 cm und α = 35°. Berechne a, b und β.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Aus sin α = a/c folgt a = c · sin α = 12 · sin 35°.
  2. Aus cos α = b/c folgt b = c · cos α = 12 · cos 35°.
  3. β = 90° − 35° = 55°.

Ergebnis: a ≈ 6,88 cm; b ≈ 9,83 cm; β = 55°.

Aufgabe 03

Ankathete und Winkel gegeben

Es gilt γ = 90°, b = 7,5 m und α = 28°. Bestimme die Gegenkathete a und die Hypotenuse c.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. tan α = a/b nach a auflösen: a = 7,5 · tan 28°.
  2. cos α = b/c nach c auflösen: c = 7,5 / cos 28°.
  3. Die Hypotenuse muss länger als jede Kathete sein.

Ergebnis: a ≈ 3,99 m; c ≈ 8,49 m.

Aufgabe 04

Leiter an einer Wand

Eine 5 m lange Leiter steht mit ihrem Fuß 1,4 m von einer senkrechten Wand entfernt. Der Boden ist waagrecht. Wie hoch reicht sie, und welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Leiter, Wand und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Leiter ist die Hypotenuse.
  2. h = √(5² − 1,4²) = √23,04 = 4,8 m.
  3. cos α = 1,4/5 = 0,28; α = arccos(0,28).

Ergebnis: Die Leiter reicht 4,80 m hoch; α ≈ 73,74°.

Vermessungsaufgaben und Steigung

Aufgabe 05

Baumhöhe mit Augenhöhe

Du stehst auf ebenem Boden 18 m horizontal vom Fuß eines senkrechten Baums entfernt. Die Baumspitze erscheint unter einem Höhenwinkel von 38°. Deine Augen befinden sich 1,6 m über dem Boden. Bestimme die Baumhöhe.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Der Höhenwinkel bezieht sich auf die waagrechte Linie durch die Augen.
  2. Höhe oberhalb der Augen: Δh = 18 · tan 38° ≈ 14,0631 m.
  3. Die Augenhöhe addieren: h = Δh + 1,6 m.

Ergebnis: Der Baum ist etwa 15,66 m hoch.

Aufgabe 06

Flussbreite über eine Uferstrecke

A und B liegen 40 m auseinander auf einem geraden Ufer. C liegt am anderen Ufer genau gegenüber von A, sodass AC senkrecht auf AB steht. Bei B misst du den Winkel zwischen BA und BC mit 52°. Wie breit ist der Fluss bei A?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Das Dreieck ABC ist bei A rechtwinklig. Gesucht ist AC, die Gegenkathete zum Winkel bei B.
  2. tan 52° = AC/AB = AC/40.
  3. AC = 40 · tan 52°.

Ergebnis: Die Flussbreite beträgt etwa 51,20 m.

Aufgabe 07

Zwei Standpunkte, unbekannte Entfernung

Von einem nahen Standpunkt siehst du die Spitze eines senkrechten Turms unter 45°, von einem 20 m weiter entfernten Standpunkt unter 30°. Beide Punkte und der Turmfuß liegen auf einer waagrechten Geraden. Die Instrumentenhöhe wird vernachlässigt. Berechne Turmhöhe h und Abstand x des nahen Punkts zum Turmfuß.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Am nahen Punkt gilt tan 45° = h/x = 1, also h = x.
  2. Am fernen Punkt gilt tan 30° = h/(x + 20) = 1/√3.
  3. Einsetzen: x = (x + 20)/√3. Daher x(√3 − 1) = 20.
  4. x = 20/(√3 − 1) = 10(√3 + 1); h = x.

Ergebnis: Abstand und Turmhöhe sind jeweils etwa 27,32 m.

Aufgabe 08

12 Prozent sind nicht 12 Grad

Eine Straße hat eine konstante Steigung von 12 %. Über eine horizontale Entfernung von 250 m: Berechne den Höhenunterschied, den Steigungswinkel und die tatsächliche Straßenlänge.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. 12 % bedeutet Höhenunterschied/horizontale Entfernung = 0,12.
  2. Δh = 0,12 · 250 = 30 m. Der Winkel ist α = arctan(0,12).
  3. Die Straßenlänge ist die Hypotenuse: s = √(250² + 30²).

Ergebnis: Δh = 30 m; α ≈ 6,84°; s ≈ 251,79 m.