Übungszettel · 6 Aufgaben

Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck

Sinussatz, Kosinussatz und Flächenberechnung – einschließlich mehrdeutiger Fälle.

Es gilt immer: a liegt gegenüber α, b gegenüber β und c gegenüber γ. Winkel im DEG-Modus berechnen; Näherungen auf zwei Nachkommastellen runden.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Winkelsumme
α + β + γ = 180°.
Sinussatz
a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bei zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel können zwei Lösungen auftreten.
Kosinussatz
a² = b² + c² − 2bc · cos α; entsprechend für b und c.
Fläche
A = ½ · b · c · sin α. Die verwendeten Seiten müssen den Winkel einschließen.

Sinussatz und Kosinussatz

Aufgabe 01

Zwei Winkel und eine Seite

Gegeben sind α = 42°, β = 68° und a = 9 cm. Bestimme γ sowie b und c.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. γ = 180° − 42° − 68° = 70°.
  2. Sinussatz: b = 9 · sin 68° / sin 42°.
  3. Ebenso c = 9 · sin 70° / sin 42°.

Ergebnis: γ = 70°; b ≈ 12,47 cm; c ≈ 12,64 cm.

Aufgabe 02

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Gegeben sind b = 7 cm, c = 10 cm und α = 60°. Berechne a und die Dreiecksfläche.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Kosinussatz: a² = 7² + 10² − 2 · 7 · 10 · cos 60° = 79.
  2. Die positive Wurzel liefert a = √79 cm.
  3. Fläche: A = ½ · 7 · 10 · sin 60° = 35√3/2 cm².

Ergebnis: a ≈ 8,89 cm; A ≈ 30,31 cm².

Aufgabe 03

Drei Seiten gegeben

Ein Dreieck hat a = 5 cm, b = 7 cm und c = 8 cm. Bestimme den größten Winkel γ und die Fläche.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Der größte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite c.
  2. cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab) = (25 + 49 − 64)/70 = 1/7.
  3. γ = arccos(1/7). Dann A = ½ · 5 · 7 · sin γ.

Ergebnis: γ ≈ 81,79°; A = 10√3 cm² ≈ 17,32 cm².

Vermessung und mögliche Dreiecke

Aufgabe 04

Entfernung über einen Fluss

Eine 60 m lange Strecke AB liegt auf einer geraden Uferlinie. Ein Punkt C am anderen Ufer wird von A unter dem Innenwinkel 55° und von B unter 75° angepeilt. Berechne AC und die senkrechte Entfernung von C zur Uferlinie AB.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Der Winkel bei C ist 180° − 55° − 75° = 50°.
  2. Die Seite AC liegt gegenüber 75°: AC = 60 · sin 75° / sin 50°.
  3. Die senkrechte Entfernung ist h = AC · sin 55°. AC selbst ist eine schräge Strecke, nicht die gesuchte senkrechte Entfernung.

Ergebnis: AC ≈ 75,66 m; senkrechte Entfernung h ≈ 61,97 m.

Aufgabe 05

Zwei Dreiecke sind möglich

Gegeben sind a = 8 cm, b = 10 cm und α = 30°. Bestimme alle möglichen Werte für β, γ und c.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Sinussatz: sin β = b · sin α / a = 10 · 0,5 / 8 = 0,625.
  2. β₁ = arcsin(0,625) ≈ 38,6822°. Auch β₂ = 180° − β₁ ≈ 141,3178° ist möglich.
  3. Beide ergeben α + β < 180°. γ₁ ≈ 111,3178°, γ₂ ≈ 8,6822°.
  4. Für jede Variante getrennt: c = a · sin γ / sin α = 16 · sin γ.

Ergebnis: Variante 1: β ≈ 38,68°, γ ≈ 111,32°, c ≈ 14,91 cm. Variante 2: β ≈ 141,32°, γ ≈ 8,68°, c ≈ 2,42 cm.

Aufgabe 06

Wann gibt es kein Dreieck?

Kann ein Dreieck die Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 6 cm haben? Begründe.

Kann ein Dreieck a = 4 cm, b = 10 cm und α = 30° haben? Prüfe mit dem Sinussatz.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte Seite sein. Hier ist 2 + 3 < 6.
  2. Im zweiten Fall wäre sin β = 10 · sin 30° / 4 = 1,25. Ein Sinuswert kann nicht größer als 1 sein.

Ergebnis: In beiden Fällen gibt es kein Dreieck.