Übungszettel · 8 Aufgaben

Exponentialfunktionen & Logarithmen

Wachstum, Zerfall, Halbwertszeit und Exponential- und Logarithmusgleichungen.

Runde Näherungen auf zwei Nachkommastellen. Unterscheide kontinuierliche Zeitpunkte von gefragten ganzen Stunden oder Jahren. Logarithmen reeller Zahlen benötigen ein positives Argument.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Exponentielles Modell
f(t) = A · qᵗ mit q > 0; A = f(0). Für einen positiven Anfangswert A gilt: Bei q > 1 Wachstum, bei 0 < q < 1 Zerfall.
Prozent und Halbwertszeit
p % Wachstum: q = 1 + p/100. Halbwertszeit H: f(t) = A · (1/2)t/H.
Logarithmus
log_b(x) = y bedeutet bʸ = x; x > 0, b > 0 und b ≠ 1. log_b(x) = ln(x)/ln(b).
Rechenregeln
ln(uv) = ln u + ln v; ln(u/v) = ln u − ln v; ln(uʳ) = r · ln u für u,v > 0. Für ln(u + v) gibt es keine entsprechende Summenregel.

Modelle für Wachstum und Zerfall

Aufgabe 01

Modelle lesen

Für t in Jahren gelten A(t) = 120 · 1,06ᵗ und B(t) = 500 · 0,82ᵗ. Bestimme jeweils Anfangswert, Änderungsfaktor und jährliche prozentuelle Änderung.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Bei t = 0 ist q⁰ = 1: Die Anfangswerte sind 120 und 500.
  2. 1,06 = 1 + 0,06 entspricht 6 % Wachstum pro Jahr.
  3. 0,82 = 1 − 0,18 entspricht 18 % Abnahme pro Jahr.

Ergebnis: A: Anfangswert 120, Faktor 1,06, +6 % jährlich. B: Anfangswert 500, Faktor 0,82, −18 % jährlich.

Aufgabe 02

Bakterienkultur

Eine Modellpopulation startet mit 800 Bakterien und wächst pro Stunde um 25 %. Gib N(t) an, bestimme N(6) und die erste ganze Stunde mit mindestens 5.000 Bakterien.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. N(t) = 800 · 1,25ᵗ mit t in Stunden.
  2. N(6) = 800 · 1,25⁶ ≈ 3.051,76; als Anzahl sind das ungefähr 3.052 Bakterien.
  3. 800 · 1,25ᵗ ≥ 5.000 ergibt t ≥ ln(6,25)/ln(1,25) ≈ 8,2126.
  4. Gefragt ist eine ganze Stunde: auf 9 aufrunden.

Ergebnis: N(t) = 800 · 1,25ᵗ; N(6) ≈ 3.052 Bakterien; erstmals zur neunten vollen Stunde mindestens 5.000.

Aufgabe 03

Halbwertszeit

Von einer Substanz sind anfangs 120 mg vorhanden. Die Halbwertszeit beträgt acht Tage. Wie viel bleibt nach 20 Tagen? Wann sind noch 15 mg vorhanden?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. M(t) = 120 · (1/2)t/8, mit t in Tagen.
  2. M(20) = 120 · (1/2)2,5 ≈ 21,2132 mg.
  3. 15/120 = 1/8 = (1/2)³. Es sind drei Halbwertszeiten vergangen: t = 3 · 8.

Ergebnis: Nach 20 Tagen etwa 21,21 mg; nach 24 Tagen genau 15 mg im Modell.

Aufgabe 04

Exponentialfunktion aus zwei Werten

Für f(t) = A · qᵗ gilt f(0) = 200 und f(3) = 345,6. Bestimme A, q, die prozentuelle Änderung pro Zeiteinheit und f(5).

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Aus f(0) = 200 folgt A = 200.
  2. 200q³ = 345,6 ergibt q³ = 1,728; q = 1,2.
  3. Das bedeutet 20 % Wachstum pro Zeiteinheit. f(5) = 200 · 1,2⁵ = 497,664.

Ergebnis: f(t) = 200 · 1,2ᵗ; +20 % pro Zeiteinheit; f(5) ≈ 497,66.

Logarithmen und Gleichungen

Aufgabe 05

Logarithmen ohne Taschenrechner

Berechne log₂(32), log₁₀(0,001), ln(e2,5) und log₃(81). Fasse anschließend ln(x) + ln(9) für x > 0 zusammen.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. 2⁵ = 32 und 10⁻³ = 0,001.
  2. Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion zur Basis e sind Umkehrfunktionen: ln(e2,5) = 2,5.
  3. 3⁴ = 81. Nach der Produktregel ist ln(x) + ln(9) = ln(9x).

Ergebnis: 5; −3; 2,5; 4. Zusammengefasst: ln(9x).

Aufgabe 06

Exponentialgleichungen lösen

Löse 3 · 2ˣ = 15.

Löse e2x − 1 = 7.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Erste Gleichung durch 3 teilen: 2ˣ = 5. Logarithmieren: x · ln 2 = ln 5.
  2. Daher x = ln 5 / ln 2 ≈ 2,3219.
  3. Zweite Gleichung logarithmieren: 2x − 1 = ln 7. Daraus x = (1 + ln 7)/2.

Ergebnis: Erste Gleichung: x ≈ 2,32. Zweite Gleichung: x ≈ 1,47.

Aufgabe 07

Definitionsbereich vor dem Lösen

Löse log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 2 über den reellen Zahlen. Gib zuerst den Definitionsbereich an.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Beide Argumente müssen positiv sein: x − 1 > 0 und x + 1 > 0. Zusammen ergibt das x > 1.
  2. Produktregel: log₃((x − 1)(x + 1)) = log₃(x² − 1) = 2.
  3. Daher x² − 1 = 3² = 9 und x = ±√10.
  4. −√10 liegt nicht im Definitionsbereich und muss verworfen werden.

Ergebnis: Definitionsbereich: x > 1. Lösung: x = √10 ≈ 3,16.

Aufgabe 08

Abkühlung mit Umgebungstemperatur

Ein Getränk wird durch T(t) = 20 + 60 · e−0,15t beschrieben, t in Minuten und T in °C. Bestimme T(0), T(10) und den Zeitpunkt mit T = 30 °C. Erreicht das Modell 20 °C nach endlicher Zeit?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. T(0) = 20 + 60 = 80 °C. T(10) = 20 + 60 · e−1,5 ≈ 33,3878 °C.
  2. 30 = 20 + 60 · e−0,15t ergibt e−0,15t = 1/6.
  3. −0,15t = ln(1/6), daher t = ln 6 / 0,15 ≈ 11,9451 Minuten.
  4. Für endliches t ist e−0,15t > 0. Die Temperatur nähert sich 20 °C nur an.

Ergebnis: T(0) = 80 °C; T(10) ≈ 33,39 °C; 30 °C nach etwa 11,95 Minuten; 20 °C werden nicht nach endlicher Zeit erreicht.