Übungszettel · 8 Aufgaben

Folgen & Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen, arithmetische Reihen und Textaufgaben.

Bei Folgen beginnt die Nummerierung mit n = 1, wenn nichts anderes angegeben ist. Bei einem Anfangswert zum Zeitpunkt 0 wird n = 0 ausdrücklich verwendet. Geldbeträge auf Cent runden.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1) · d; konstante Differenz d.
Geometrische Folge
aₙ = a₁ · qn − 1; konstanter Faktor q.
Arithmetische Reihe
Sₙ = n · (a₁ + aₙ)/2 = n · [2a₁ + (n − 1)d]/2.
Folge oder Reihe?
Die Folge beschreibt einzelne Glieder. Eine Reihe addiert Glieder: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ.

Folgen bestimmen

Aufgabe 01

Arithmetische Folge

Gegeben sind a₁ = 7 und d = 3. Notiere die ersten fünf Glieder, eine Formel für aₙ und das 20. Glied.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Jeweils 3 addieren: 7, 10, 13, 16, 19.
  2. aₙ = 7 + 3(n − 1) = 3n + 4.
  3. a₂₀ = 7 + 19 · 3 = 64.

Ergebnis: 7; 10; 13; 16; 19. aₙ = 3n + 4; a₂₀ = 64.

Aufgabe 02

Aus zwei Gliedern zurückrechnen

Eine arithmetische Folge hat a₄ = 14 und a₁₀ = 38. Bestimme d, a₁, aₙ und a₂₅.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Zwischen dem 4. und dem 10. Glied liegen sechs Schritte: 38 − 14 = 6d. Also d = 4.
  2. a₄ = a₁ + 3d ergibt a₁ = 14 − 12 = 2.
  3. aₙ = 2 + 4(n − 1) = 4n − 2; a₂₅ = 100 − 2.

Ergebnis: d = 4; a₁ = 2; aₙ = 4n − 2; a₂₅ = 98.

Aufgabe 03

Geometrische Folge

Gegeben sind a₁ = 5 und q = 1,5. Bestimme die ersten vier Glieder, eine Formel und a₈ auf vier Nachkommastellen.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Jedes Glied mit 1,5 multiplizieren: 5; 7,5; 11,25; 16,875.
  2. aₙ = 5 · 1,5n − 1.
  3. a₈ = 5 · 1,5⁷ = 85,4296875.

Ergebnis: aₙ = 5 · 1,5n − 1; a₈ ≈ 85,4297.

Aufgabe 04

Faktor aus zwei Gliedern

Eine geometrische Folge hat a₂ = 6 und a₅ = 162. Bestimme q, a₁ und aₙ.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. a₅/a₂ = q³ = 162/6 = 27.
  2. Die reelle dritte Wurzel von 27 ist q = 3.
  3. a₂ = a₁ · q, daher a₁ = 6/3 = 2.

Ergebnis: q = 3; a₁ = 2; aₙ = 2 · 3n − 1.

Reihen und Textaufgaben

Aufgabe 05

Sitzreihen im Saal

Die erste Sitzreihe hat 18 Plätze. Jede folgende Reihe hat zwei Plätze mehr. Es gibt 24 Reihen. Wie viele Plätze hat die letzte Reihe und wie viele der ganze Saal?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Arithmetische Folge mit a₁ = 18, d = 2 und n = 24.
  2. Letzte Reihe: a₂₄ = 18 + 23 · 2 = 64.
  3. Gesamtzahl: S₂₄ = 24 · (18 + 64)/2 = 12 · 82.

Ergebnis: Die letzte Reihe hat 64 Plätze; insgesamt gibt es 984 Plätze.

Aufgabe 06

Sparplan ohne Zinsen

Im ersten Monat sparst du 40 €. Jeden Monat erhöhst du den Sparbetrag um 5 €. Wie viel sparst du im zwölften Monat und insgesamt in zwölf Monaten? Zinsen werden nicht berücksichtigt.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Monatsbetrag: aₙ = 40 + 5(n − 1).
  2. Im zwölften Monat sind es 40 + 11 · 5 = 95 €.
  3. Die Gesamtsumme ist S₁₂ = 12 · (40 + 95)/2.

Ergebnis: Im zwölften Monat 95 €; insgesamt 810 €.

Aufgabe 07

Wertverlust eines Geräts

Ein Gerät kostet neu 12.000 €. Sein Wert sinkt jedes Jahr um 18 %. Stelle Vₙ für den Wert nach n vollen Jahren auf, berechne V₄ und bestimme das erste volle Jahr mit einem Wert unter 5.000 €. Hier ist n = 0 das Kaufdatum.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. 18 % Verlust bedeutet Restfaktor 0,82. Deshalb Vₙ = 12.000 · 0,82ⁿ.
  2. Nach vier Jahren: V₄ = 5.425,46112 €, also 5.425,46 €.
  3. 12.000 · 0,82ⁿ < 5.000 ergibt n > ln(5.000/12.000)/ln(0,82) ≈ 4,4115; beim Teilen durch ln(0,82) < 0 kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.
  4. Das erste ganze n ist 5. Kontrolle: V₅ ≈ 4.448,88 €.

Ergebnis: Vₙ = 12.000 · 0,82ⁿ; V₄ ≈ 5.425,46 €; erstmals nach fünf vollen Jahren unter 5.000 €.

Aufgabe 08

Wie viele Glieder werden addiert?

Die arithmetische Reihe 4 + 8 + 12 + … ergibt 312. Wie viele Glieder wurden addiert?

Lösungsweg & Ergebnis
  1. a₁ = 4 und d = 4; deshalb ist aₙ = 4n.
  2. Sₙ = n · (4 + 4n)/2 = 2n(n + 1).
  3. 2n(n + 1) = 312 führt zu n² + n − 156 = 0 = (n − 12)(n + 13).
  4. Als Anzahl ist nur die positive ganze Lösung möglich.

Ergebnis: Es wurden 12 Glieder addiert; das letzte Glied ist 48.